Question

15．已知：关于x的方程x²+（m-1）x-1=0，
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程两个实数根分别为x₁，x₂，当|x₁|=4|x₂|时，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式的符号进行证明；
（2）利用根与系数的关系得出x₁+x₂=1-m，x₁x₂=1，分x₁=4x₂，x₁=-4x₂，分类探讨得出答案即可．

解答 解：（1）∵△=（m-1）²-4×（-1）=（m-1）²+4＞0，
∴关于x的方程x²+（m-1）x-1=0有两个不相等的实数根；

（2）设方程两个实数根分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂=1-m，x₁x₂=1，
∵|x₁|=4|x₂|，
∴x₁=±4x₂，
当x₁=4x₂时
$\left\{\begin{array}{l}{5{x}_{2}=1-m}\\{4{x}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$
解得m=-2，或m=3；
当x₁=-4x₂时
$\left\{\begin{array}{l}{-3{x}_{2}=1-m}\\{-4{x}_{2}^{2}=-1}\end{array}\right.$，舍去．
∴m=-2，或m=3．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根；根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．