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【题目】已知,正方形ABCD,∠EAF45°

1)如图1,当点EF分别在边BCCD上,连接EF,求证:EFBE+DF

2)如图2,点MN分别在边ABCD上,且BNDM,当点EF分别在BMDN上,连接EF,请探究线段EFBEDF之间满足的数量关系,并加以证明;

3)如图3,当点EF分别在对角线BD,边CD上,若FC2,则BE的长为   

【答案】1)见解析;(2EF2BE2+DF2 ;理由见解析;(3

【解析】

1)如图1中,将ADF绕点A顺时针旋转90°,得ABG,想办法证明EAG≌△EAFSAS).

2)结论:EF2BE2+DF2,将ADF绕点A顺时针旋转90°,得ABH,(如图2)证明过程跟(1)类似,证得EAH≌△EAF,把EF转化到EH,然后利用BNDM证明四边形BMDN为平行四边形得∠ABE=∠FDM,得∠EBH=∠ABH+ABE=∠ADF+MDN90°,由EH2BE2+BH2EF2BE2+DF2

3)作ADF的外接圆⊙O,连接EFEC,过点E分别作EMCDMENBCN(如图3).想办法证明EFFC,即可推出封门村吗,证明ENCM即可.

1)证明:如图1中,将ADF绕点A顺时针旋转90°,得ABG

∴△ADF≌△ABG

AFAGDFBG,∠DAF=∠BAG

∵正方形ABCD

∴∠D=∠BAD=∠ABE90°ABAD

∴∠ABG=∠D90°,即GBC在同一直线上,

∵∠EAF45°

∴∠DAF+BAE90°45°45°

∴∠EAG=∠BAG+BAE=∠DAF+BAE45°

即∠EAG=∠EAF

∴△EAG≌△EAFSAS),

EGEF

BE+DFBE+BGEG

EFBE+DF

2)结论:EF2BE2+DF2

理由:将ADF绕点A顺时针旋转90°,得ABH,(如图2

∴△ADF≌△ABH

AFAHDFBH,∠DAF=∠BAH,∠ADF=∠ABH

∵∠EAF45°

∴∠DAF+BAE90°45°45°

∴∠EAH=∠BAH+BAE=∠DAF+BAE45°

即∠EAH=∠EAF

∴△EAH≌△EAFSAS),

EHEF

BNDMBNDM

∴四边形BMDN是平行四边形,

∴∠ABE=∠MDN

∴∠EBH=∠ABH+ABE=∠ADF+MDN=∠ADM90°

EH2BE2+BH2

EF2BE2+DF2

3)作ADF的外接圆⊙O,连接EFEC,过点E分别作EMCDMENBCN(如图3).

∵∠ADF90°

AF为⊙O直径,

BD为正方形ABCD对角线,

∴∠EDF=∠EAF45°

∴点E在⊙O上,

∴∠AEF90°

∴△AEF为等腰直角三角形,

AEEF

∴△ABE≌△CBESAS),

AECE

CEEF

EMCFCF2

CM CF1

ENBC,∠NCM90°

∴四边形CMEN是矩形

ENCM1

∵∠EBN45°

BEEN

故答案为:

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