Question

如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4，D是AC边上一动点（不与A、C点重合），EF垂直平分BD，分别交AB、BC于点E、F，设CD=x，AE=y．
（1）求证：△AED∽△CDF；
（2）求y关于x的函数解析式．并写出定义域；
（3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，当EH=1时，求线段CD的长．

Answer 1

考点：相似形综合题,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,锐角三角函数的定义,特殊角的三角函数值

专题：综合题

分析：（1）易证△BEF≌△DEF，则有∠EDF=∠EBF=60°，由∠A=∠C=∠EDF=60°即可证到△AED∽△CDF；
（2）由△AED∽△CDF可得DF=

4x-xy

y

，CF=

4x-x2

y

，然后利用DF+CF=BF+CF=BC=4就可解决问题；
（3）在Rt△AHD中，AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，∠A=60°，运用三角函数可求得y=3-

1

2

x，从而有

8x-x2

4+x

=3-

1

2

x，解这个方程就可解决问题．

解答：解：（1）证明：如图1，
∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，FB=FD．
在△BEF和△DEF中，

BE=DE FB=FD EF=EF

，
∴△BEF≌△DEF（SSS），
∴∠EBF=∠EDF．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠ADE+∠FDC=180°-60°=120°．
又∵∠AED+∠ADE=180°-60°=120°，
∴∠AED=∠FDC，
∴△AED∽△CDF；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=4．
∵CD=x，AE=y，
∴AD=4-x，ED=EB=4-y．
∵△AED∽△CDF，
∴

ED

DF

=

AD

CF

=

AE

CD

，
∴

4-y

DF

=

4-x

CF

=

y

x

，
∴DF=

4x-xy

y

，CF=

4x-x2

y

．
∵DF+CF=BF+CF=BC=4，
∴

4x-xy

y

+

4x-x2

y

=4，
整理得：y=

8x-x2

4+x

（0＜x＜4）；

（3）如图2，

在Rt△AHD中，
∵AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，∠A=60°，
∴cosA=

AH

AD

=

y-1

4-x

=

1

2

，
∴y=3-

1

2

x，
∴

8x-x2

4+x

=3-

1

2

x，
整理得：x²-14x+24=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
∵0＜x＜4，
∴x=2，
即CD的长为2．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、三角函数、特殊角的三角函数值、解一元二次方程等知识，证到∠EDF=60°是解决第（1）小题的关键，运用相似三角形的性质求出DF和CF（用x、y的代数式表示）并利用DF+CF=4是解决第（2）小题的关键，在Rt△AHD中运用三角函数得到y与x的另一个关系是解决第（3）小题的关键．