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【题目】已知,如图,抛物线y=ax2+3ax+ca0)与y轴交于点C,与x轴交于AB两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(10),OC=3OB

1)求抛物线的解析式;

2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值.

【答案】1y=x2+x﹣32

【解析】

试题分析:1)已知了B点坐标,易求得OBOC的长,进而可将BC的坐标代入抛物线中,求出待定系数的值,即可得出抛物线的解析式.

2)根据AC的坐标,易求得直线AC的解析式.由于ABOC都是定值,则ABC的面积不变,若四边形ABCD面积最大,则ADC的面积最大;可过Dx轴的垂线,交ACMx轴于N;易得ADC的面积是DMOA积的一半,可设出N点的坐标,分别代入直线AC和抛物线的解析式中,即可求出DM的长,进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积.

解:(1B10),

OB=1

OC=3BO

C0﹣3);(1分)

y=ax2+3ax+cB10)、C0﹣3),

解这个方程组,得

抛物线的解析式为:y=x2+x﹣3

2)过点DDMy轴分别交线段ACx轴于点MN

y=x2+x﹣3中,令y=0

得方程x2+x﹣3=0解这个方程,得x1=﹣4x2=1

A﹣40

设直线AC的解析式为y=kx+b

解这个方程组,得

AC的解析式为:y=﹣x﹣3

S四边形ABCD=SABC+SADC

=+DMAN+ON

=+2DM

Dxx2+x﹣3),Mxx﹣3),DM=﹣x﹣3﹣x2+x﹣3=﹣x+22+3

x=﹣2时,DM有最大值3

此时四边形ABCD面积有最大值

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