Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以AB为直径的⊙O过点D，点M是BC边上一点（点M不与B，C重合），过点M作BC的垂线MN，交CD边于点N．

（1）求AD的长；

（2）当点N在⊙O上时，求证：直线MN是⊙O的切线；

（3）以CN为直径作⊙P，设BM=x，⊙P的直径为y，

①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当BM为何值时，⊙P与⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）①y=2﹣2x（0＜x＜1）；②BM为1时，⊙P与⊙O相切．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，由题意证出△AOD是等边三角形，得出AD=OA=1即可；

（2）连接ON，由平行四边形的性质得出AB∥CD，BC=AD=1，∠C=∠A=60°，证出△DON是等边三角形，得出∠DNO=60°，求出∠CNM=30°，因此∠ONM=90°即可；

（3）①由含30°角的直角三角形的性质得出CN=2CM，即可得出结果；

②作PE⊥AB于E，CN⊥AB于N，则∠BCN=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BN=BC=，得出PE=CN=，由相切两圆的圆心距=两圆半径之和，得出OP=OB+PC=2﹣x，因此OE=OB+BN﹣EN=+x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）解：连接OD，如图1所示：

根据题意得：OA=OB=1，

∵OA=OD，∠A=60°，

∴△AOD是等边三角形，

∴AD=OA=1，∠AOD=60°；

（2）证明：连接ON，如图2所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，BC=AD=1，∠C=∠A=60°，

∴∠ODN=∠AOD=60°，

∵OD=ON，

∴△DON是等边三角形，

∴∠DNO=60°，

∵MN⊥BC，

∴∠CNM=90°﹣60°=30°，

∴∠ONM=180°﹣30°﹣60°=90°，

即MN⊥ON，

∴直线MN是⊙O的切线；

（3）解：①∵∠CNM=30°，MN⊥BC，

∴CN=2CM，即y=2（1﹣x），

∴y=2﹣2x，

即y关于x的函数关系式为y=2﹣2x（0＜x＜1）；

②作PE⊥AB于E，CN⊥AB于N，如图3所示：

则∠BCN=30°，

∴BN=BC=，PE=CN=，

∵⊙P与⊙O相切，

∴OP=OB+PC=1+1﹣x=2﹣x，OE=OB+BN﹣EN=1+﹣（1﹣x）=+x，

由勾股定理得：OE2+PE2=OP2，

即（+x）2+（）2=（2﹣x）2，

解得：x=1，

即BM为1时，⊙P与⊙O相切．