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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于点O、M.对称轴为直线x=2,以OM为直径作圆A,以OM的长为边长作菱形ABCD,且点B、C在第四象限,点C在抛物线对称轴上,点D在y轴负半轴上;

(1)求证:4a+b=0;

(2)若圆A与线段AB的交点为E,试判断直线DE与圆A的位置关系,并说明你的理由;

(3)若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且OPM为锐角时,求a的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2)DE与圆A相切(3)

【解析】

试题分析:(1)由题意可知(4,0),由抛物线经过点O可求得c=0,将c=0,x=4,y=0代入抛物线的解析式可证得:4a+b=0;

(2)如图1所示:由菱形的性质可知:DN=NB,DNAN,由OM=AD=AB,可证明AD=AB=DB,由AE=2可知AE=EB,由等腰三角形三线合一的性质可知AEDE,从而可证明DE与圆A相切;

(3)如图2所示.设点P的坐标为(2,m).由题意可知点E的坐标为(﹣2,2),设抛物线的解析式为y=ax(x﹣4),将x=2代入得y=﹣4a即m=﹣4a.由OPM为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知﹣4a<﹣2、﹣4a>﹣4,从而可求得a的取值范围.

解:(1)O的坐标为(0,0),抛物线的对称轴为x=2,

点M的坐标为(4,0).

抛物线经过点O,

c=0

将c=0,x=4,y=0代入抛物线的解析式得:16a+4b=0.

整理得:4a+b=0.

(2)DE与圆A相切.

理由:如图1所示:

四边形ABCD为菱形,

DN=NB,DNAN

∵∠AOD=AON=DNA=90°

四边形OAND为矩形.

OA=DN=2

DB=OM=4

OM=AD=AB

AD=AB=DB

AE为圆A的半径,

AE=EB=2

AD=DB,AE=EB.

AEDE

DE与圆A相切.

(3)如图2所示.

设点P的坐标为(2,m).

OM为圆A的直径,

∴∠OEM=90°

AE=2,OA=2,

点E的坐标为(﹣2,2).

设抛物线的解析式为y=ax(x﹣4),将x=2代入得y=﹣4a.

m=﹣4a.

∵∠OPM为锐角,

点P在点E的下方.

﹣4a<﹣2.

解得:a>

在RtAOD中,OD==2

AC=4

点P在菱形的内部,

点P在点C的上方.

﹣4a>﹣4

解得:a<

a的取值范围是

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(3)以CN为直径作P,设BM=x,P的直径为y,

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②当BM为何值时,PO相切.

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