【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于点O、M.对称轴为直线x=2,以OM为直径作圆A,以OM的长为边长作菱形ABCD,且点B、C在第四象限,点C在抛物线对称轴上,点D在y轴负半轴上;
(1)求证:4a+b=0;
(2)若圆A与线段AB的交点为E,试判断直线DE与圆A的位置关系,并说明你的理由;
(3)若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时,求a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)DE与圆A相切;(3).
【解析】
试题分析:(1)由题意可知(4,0),由抛物线经过点O可求得c=0,将c=0,x=4,y=0代入抛物线的解析式可证得:4a+b=0;
(2)如图1所示:由菱形的性质可知:DN=NB,DN⊥AN,由OM=AD=AB,可证明AD=AB=DB,由AE=2可知AE=EB,由等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥DE,从而可证明DE与圆A相切;
(3)如图2所示.设点P的坐标为(2,m).由题意可知点E的坐标为(﹣2,2),设抛物线的解析式为y=ax(x﹣4),将x=2代入得y=﹣4a即m=﹣4a.由∠OPM为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知﹣4a<﹣2、﹣4a>﹣4,从而可求得a的取值范围.
解:(1)∵O的坐标为(0,0),抛物线的对称轴为x=2,
∴点M的坐标为(4,0).
∵抛物线经过点O,
∴c=0.
将c=0,x=4,y=0代入抛物线的解析式得:16a+4b=0.
整理得:4a+b=0.
(2)DE与圆A相切.
理由:如图1所示:
∵四边形ABCD为菱形,
∴DN=NB,DN⊥AN.
∵∠AOD=∠AON=∠DNA=90°,
∴四边形OAND为矩形.
∴OA=DN=2.
∴DB=OM=4.
∵OM=AD=AB,
∴AD=AB=DB.
∵AE为圆A的半径,
∴AE=EB=2.
∵AD=DB,AE=EB.
∴AE⊥DE.
∴DE与圆A相切.
(3)如图2所示.
设点P的坐标为(2,m).
∵OM为圆A的直径,
∴∠OEM=90°.
∵AE=2,OA=2,
∴点E的坐标为(﹣2,2).
设抛物线的解析式为y=ax(x﹣4),将x=2代入得y=﹣4a.
∴m=﹣4a.
∵∠OPM为锐角,
∴点P在点E的下方.
∴﹣4a<﹣2.
解得:a>.
在Rt△AOD中,OD==2.
∴AC=4.
∵点P在菱形的内部,
∴点P在点C的上方.
∴﹣4a>﹣4.
解得:a<.
∴a的取值范围是.
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【题目】已知:直线AB与直线CD相交于点O,∠BOC=45°,
(1)如图1,若EO⊥AB,求∠DOE的度数;
(2)如图2,若EO平分∠AOC,求∠DOE的度数.
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【题目】如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.试探索BF与CF的数量关系,写出你的结论并证明.
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【题目】随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2014年约为20万人次,2016年约为28.8万人次,设观赏人数年均增长率为x,则下列方程中正确的是( )
A.20(1+2x)=28.8
B.28.8(1+x)2=20
C.20(1+x)2=28.8
D.20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,AB=2,∠A=60°,以AB为直径的⊙O过点D,点M是BC边上一点(点M不与B,C重合),过点M作BC的垂线MN,交CD边于点N.
(1)求AD的长;
(2)当点N在⊙O上时,求证:直线MN是⊙O的切线;
(3)以CN为直径作⊙P,设BM=x,⊙P的直径为y,
①求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当BM为何值时,⊙P与⊙O相切.
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