Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，轴于点，的角平分线交轴于点，过点作直线的垂线，交轴于点．

（1）求直线的解析式；

（2）如图2，若点为直线上的一个动点，过点作轴，交直线于点，当四边形为菱形时，求的面积；

（3）如图3，点为轴上的一个动点，连接、，将沿翻折得到，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）(，)，(，)，(，)，(，)

【解析】

（1）分别令为0，建立方程可求得A、B的坐标，并由tan∠BAO=，求得∠BAO=60°，由AC平分∠BAO求得C的坐标，再求得点D的坐标，利用待定系数法即可求得CD的解析式；
（2）根据菱形对角线互相垂直平分这一性质，可以确定点M的坐标，易求出△ACM的面积；
（3）△为等腰三角形，分类讨论：①当且点P在负半轴上，时，证明△是等边三角形解决问题．②当时，过作⊥y轴于H，易证△≌△（AAS），利用全等三角形性质解决问题即可．③当时，若点P在负半轴上，不存在，若点P在正半轴上，点P与点B重合时，．④当且点P在正半轴上时，利用面积法即可求解．

（1）如图，

在中，令，得，令得，解得，
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（，0），

在中，∠AOB=90°，，

∴∠BAO=60°，
∵AC平分∠BAO，
∴∠CAO=∠BAO=30°
∵tan∠CAO=，
∴OC=OAtan∠CAO=3tan30°=，

∴点C的坐标为（，0），

∵CD⊥AB，
∴∠ODC=90°-∠BAO=90°-60°=30°，
在Rt△COD中，∠COD=90°，tan∠ODC=，

∴OD=，

∴点D的坐标为（，），

设直线CD解析式为，将C（，0），D（，）代入得：

，解得，

∴直线CD的解析式为；
（2）如图，令CD与AB交于点E，

∵四边形AMND是菱形，
∴AE=NE DE=ME，
解方程组，得，

∴点E的坐标为（，），

设点M的横坐标为，则，

∴，

则，

∴点M的坐标为(，)，

∵四边形AMND是菱形，

∴对角线相互垂直平分，
在Rt△ADE中，cos∠ODC=，sin∠ODC=，AD=OA+OD=3+3=6，

∴DE=AD×cos∠ODC=6cos30°=，AE=ADsin∠ODC=6sin30°=3，
∴ME=DE=，

在Rt△ODC中，∠ODC=30°，

∴CD=2OC=2，

∴CM=2DM-CD=，

∴；

（3）如图，

△为等腰三角形，分三种情况：
①当时，
由翻折知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴△是等边三角形
∴，
∴∠ADP=30°，

在Rt△PDO中，，

∴，

∴点P的坐标为(，)，

②当时，

∴在线段AB垂直平分线上，
由（2）得，直线CD是线段AB垂直平分线，

∴点在直线CD上，如图：

由翻折知：，，，
∵∠ADC=30°，
∴，，
∵OA=OD，PO⊥AD，
∴∠APO=∠DPO=15°，
∴=30°，
∴60°，
∴△是等边三角形，
∴，
过作⊥轴于H，

∵=90°，
∴=15°，

又∵=90°，

∴△≌△（AAS）
=3，，
点的横坐标为-3，将代入直线CD的解析式中，得，

∴OH=，OP=AH=AO+OH=，

∴点P的坐标为(，)；

③当时，
若点P在负半轴上，不存在，
若点P在正半轴上，点P与点B重合时，，如图：

∴点P的坐标为(，)；

④当时，

∴在线段AB垂直平分线上，
由（2）得，直线CD是线段AB垂直平分线，

∴点在直线CD上，如图：

由翻折知：，，，
∴DP平分∠ODC，

过P作PG⊥CD于G，

∵DP平分∠ODC，

设PO=OG=，

∵OC=，∠ODC=30，

∴CD=2，OD=3，

∵，

∴，

解得：，

∴点P的坐标为(，)

综上所述，点P的坐标为(，)，(，)，(，)，(，) ．