Question

如图，在平面直角坐系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（-1，0）．将矩形OABC绕原点顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax²+2x+c的图象经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）分别求出直线BB′和抛物线所表示的函数解析式；
（2）将△MON沿直线MN翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在抛物线上，说明理由．
（3）将直线MN向上平移，使它与抛物线只有一个交点，求此时直线的解析式．
（4）点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连接P M，P N，设所得△PMN的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PMN的面积S为整数，则这样的△PBC共有

 

个．

Answer 1

考点：二次函数综合题,根的判别式,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）易得点B、点B′的坐标，然后运用待定系数法可求出直线BB′的解析式，从而求出点M、N的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）设OP与直线MN交于点H，过点P作PG⊥y轴于点G，如图2，运用等积法可求出OP的长，然后运用相似三角形的性质就可求出点P的坐标，然后把点P的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；
（3）设所求直线的解析式为y=-

1

2

x+n，由于“所求直线与抛物线只有一个交点”等价于“方程-

1

2

x+n=-

1

2

x²+2x+

5

2

有两个相等的实数根”，因此只需运用根的判别式△=0就可解决问题；
（4）设点P的横坐标为m，由“点P是x轴上方的抛物线上的一动点”可得到-1＜m＜5，且m≠0．①Ⅰ．当0＜m＜5时，过点P作PR⊥x轴于点R，交MN于点Q，如图3，运用割补法可得S与m的关系式，然后根据二次函数的性质就可得到S的范围；Ⅱ．当-1＜m＜0时，同理可得到S的范围，就可解决问题；②根据S的取值范围就可得到整数S的值，结合图象可知：整数S取1到7中的任意一个整数时，点P都有三个位置，由此就可得到△PBC的个数．

解答：解：（1）如图1，
∵矩形OABC的顶点A（0，3），C（-1，0），
∴OA=3，OC=1，点B（-1，3）．
由旋转可得：OA′=OA=3，OC′=OC=1，
∴点B′（3，1）．
设直线BB′的解析式为y=kx+b，
则有

-k+b=3 3k+b=1

，
解得：

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直线BB′的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

．
∵直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，
∴点M的坐标为（5，0），点N的坐标为（0，

5

2

）．
∵抛物线y=ax²+2x+c的图象经过点C（-1，0）、N（0，

5

2

），
∴

a-2+c=0 c= 5 2

，
解得：

a=- 1 2 c= 5 2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+2x+

5

2

．

（2）点P不在抛物线上．
理由如下：
设OP与直线MN交于点H，过点P作PG⊥y轴于点G，如图2．
由题可得OP⊥MN，OP=2OH．
∴∠PGO=∠OHN=90°．
在Rt△MON中，
∵OM=5，ON=

5

2

，
∴MN=

OM2+ON2

=

5 5

2

，
∴OH=

OM•ON

MN

=

5× 5 2

5 5 2

=

5

，
∴OP=2OH=2

5

．
∵∠NOM=90°，∠OHN=90°，
∴∠NOH=90°-∠HOM=∠OMN．
又∵∠PGO=∠NOM=90°，
∴△PGO∽△NOM，
∴

PG

NO

=

OG

MO

=

OP

MN

，
∴

PG

5 2

=

OG

5

=

2 5

5 5 2

=

4

5

，
∴PG=2，OG=4，
∴点P的坐标为（2，4），
当x=2时，y=-

1

2

×2²+2×2+

5

2

=

9

2

≠4，
∴点P不在抛物线上．

（3）设所求直线的解析式为y=-

1

2

x+n，
∵直线y=-

1

2

x+n与抛物线y=-

1

2

x²+2x+

5

2

只有一个交点，
∴方程组

y=- 1 2 x+n y=- 1 2 x2+2x+ 5 2

只有一解，
∴方程-

1

2

x+n=-

1

2

x²+2x+

5

2

有两个相等的实数根，
将该方程整理得：x²-5x+2n-5=0，
∴△=（-5）²-4×1×（2n-5）=0，
∴解得：n=

45

8

，
∴所求直线的解析式为y=-

1

2

x+

45

8

．

（4）①设点P的横坐标为m，
∵点P是x轴上方的抛物线上的一动点，
∴-1＜m＜5，且m≠0．
Ⅰ．当0＜m＜5时，
过点P作PR⊥x轴于点R，交MN于点Q，如图3，
则PQ=（-

1

2

m²+2m+

5

2

）-（-

1

2

m+

5

2

）=-

1

2

m²+

5

2

m．
S=S_△NPQ+S_△MPQ
=

1

2

PQ•OR+

1

2

PQ•MR
=

1

2

PQ•OM
=

5

2

（-

1

2

m²+

5

2

m）
=-

5

4

（m²-5m）
=-

5

4

（m-

5

2

）²+

125

16

，
∵-

5

4

＜0，
∴当m=

5

2

时，S取最大值为

125

16

．
当m=0或5时，S=0，
∴0＜S≤

125

16

．
Ⅱ．当-1＜m＜0时，
同理可得：S=

5

4

（m-

5

2

）²-

125

16

，
当m=-1时，S=

15

2

；
当m=0时，S=0．
∵

5

4

＞0，对称轴为m=

5

2

，
∴当-1＜m＜0时，S随着m的增大而减小，
∴O＜S＜

15

2

．
综上所述：S的取值范围为0＜S≤

125

16

．
②若△PMN的面积S为整数，
则整数S可取1、2、3、4、5、6、7．
结合图象可知：整数S取1到7中的任意一个整数时，点P都有三个位置，
所以这样的点P共有21个，所对应的△PBC也有21个．
故答案为：21．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质（最值性、增减性），相似三角形的判定与性质、勾股定理、根的判别式等知识，综合性比较强．运用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键，将“直线与抛物线只有一个交点”转化为“方程组只有一解”是解决第（3）小题的关键，运用割补法及二次函数的性质是解决第（4）小题的关键．