Question

15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任意取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交射线AB于点F
（1）求sinC的值；
（2）若AF=CE，求CE的长；
（3）设CE=x，AF=y，求y关于x的函数表达式及函数y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过D作DH⊥BC于点H，在Rt△DHC中可由正弦的定义求得答案；
（2）设AF=CE=x，则可用x表示出BF、BE和EH，由条件可证明△BEF∽△HDE，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得CE的长；
（3）分点E在线段BH和线段CH上两种情况，分别利用△BEF∽△HDE，可得到y与x的函数表达式．

解答 解：
（1）如图过D作DH⊥BC于点H，
∵AD∥BC，且AB∥DH，∠B=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH=AB=7，BH=AD=9，
∴CH=BC-BH=12-9=3，
在Rt△CDH中，CD=$\sqrt{C{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{58}$，
∴sinC=$\frac{DH}{CD}$=$\frac{7}{\sqrt{58}}$=$\frac{7\sqrt{58}}{58}$；

（2）当AF=CE时，可知点E在线段BH上，如图1中，设AF=CE=x，
则BF=AB-AF=7-x，EH=EC-CH=x-3，BE=12-x，
∵∠FED=90°，
∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEH=90°，
∴∠BFE=∠DEH，且∠B=∠DHE，
∴△BEF∽△HDE，
∴$\frac{BF}{EH}$=$\frac{BE}{DH}$，即$\frac{7-x}{x-3}$=$\frac{12-x}{7}$，整理可得x²-22x+85=0，
解得x=5或x=17
经检验x=5和x=17都是原方程的解，但x=17不合题意，舍去，
∴CE=5；

（3）当点E在线段BH上时，即3≤x≤12时，如图1，
∵CE=x，AF=y，
∴BE=12-x，BF=7-y，EH=x-3，
同（2）可得$\frac{7-y}{x-3}$=$\frac{12-x}{7}$，整理可得y=$\frac{1}{7}$x²-$\frac{15}{7}$x+$\frac{85}{7}$；
当点E在线段CH上时，即0≤x＜3时，
则可得BE=12-x，BF=7-y，EH=3-x，
同（2）可得$\frac{7-y}{3-x}$=$\frac{12-x}{7}$，整理可得y=-$\frac{1}{7}$x²+$\frac{15}{7}$x$\frac{13}{7}$；
综上可知y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{7}{x}^{2}+\frac{15}{7}x+\frac{13}{7}（0≤x＜3）}\\{\frac{1}{7}{x}^{2}-\frac{15}{7}x+\frac{85}{7}（3≤x≤12）}\end{array}\right.$．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及矩形的判定和性质、三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中构造直角三角形是解题的关键，在（2）（3）中利用相似三角形得到AF和CE之间的关系是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．