Question

16．如图，△OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于点E，F．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A坐标确定出OA的长，即为OB的长，确定出B坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；
（2）由A坐标确定出直线OA解析式，设OQ=t，则有OP=2t，表示出E与F坐标，进而表示出EF长，由四边形POEF为平行四边形，得到EF=OP，求出t的值，即可确定出P坐标；
（3）分三种情况考虑：若∠PEF=90°；若∠PFE=90°；若∠EPF=90°，过E、F分别作x轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t的值，确定出满足题意P坐标即可．

解答 解：（1）∵A（6，8），∴OA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OB=OA=10，即B（10，0），
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=8}\\{10k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=20．
则直线AB解析式为y=-2x+20，；
（2）由A（6，8），得到直线OA解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
设OQ=t，则有OP=2OQ=2t，
把y=t代入y=$\frac{4}{3}$x得：x=$\frac{3}{4}$t；代入y=-2x+20得：x=10-$\frac{1}{2}$t，
∴E（$\frac{3}{4}$t，t），F（10-$\frac{1}{2}$t，t），
∴EF=10-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{4}$t=10-$\frac{5}{4}$t，
若四边形POEF为平行四边形，则有EF=OP，即10-$\frac{5}{4}$t=2t，
解得：t=$\frac{40}{13}$；
（3）分三种情况考虑：
若∠PEF=90°，则有$\frac{3}{4}$t=2t，无解，不可能；
若∠PFE=90°，则有10-$\frac{t}{2}$=2t，解得：t=4，此时OP=8，即P（8，0）；
若∠EPF=90°，过E、F分别作x轴垂线，垂足分别为G、H，

∴Rt△EGP∽Rt△PHF，
∴$\frac{EG}{GP}$=$\frac{PH}{HF}$，即$\frac{t}{2t-\frac{3}{4}t}$=$\frac{10-\frac{1}{2}t-2t}{t}$，
解得：t=$\frac{100}{33}$，此时P=$\frac{200}{33}$，即P（$\frac{200}{33}$，0）．
综上，P的坐标为（8，0）或（$\frac{200}{33}$，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法确定一次函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．