Question

1．如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA=4，∠P=30°，求：
（1）弦AB的长；
（2）阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）设AB交OP于D，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出PA=$\sqrt{3}$OA=4$\sqrt{3}$，PO=2OA=8，利用互余得到∠O=60°，接着根据对称的性质得OP⊥AB，AD=BD，则可利用面积法计算出AD=2$\sqrt{3}$，于是得到AB=2AD=4$\sqrt{3}$；
（2）根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S_△OAP-S_扇形AOC进行计算即可．

解答 解：（1）设AB交OP于D，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠PAO=90°，
∵∠P=30°，
∴∠O=60°，PA=$\sqrt{3}$OA=4$\sqrt{3}$，PO=2OA=8，
∵点B与点A关于直线PO对称，
∴OP⊥AB，AD=BD，
∵$\frac{1}{2}$AD•PO=$\frac{1}{2}$OA•AP，
∴AD=$\frac{4×4\sqrt{3}}{8}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AD=4$\sqrt{3}$；
（2）阴影部分的面积=S_△OAP-S_扇形AOC
=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{4}^{2}}{360}$
=8$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了扇形面积公式．