Question

12．已知四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与边CD相切于点E．
（1）如图1，求证：∠ADC=2∠CBE；
（2）如图2，若OD=6，OC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OD、AE、OE，根据已知条件得到AD，BC是⊙的切线，根据切线的性质得到CE=CB，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠ABE，于是推出∠BEC=∠CBE，求得∠ODE=90°-∠DEA，根据圆周角定理得到∠AEB=90°，于是得到∠BEC=90°-∠DEA，等量代换得到∠ODE=∠BEC，即可得到结论．
（2）连接OE，根据切线的性质得到∠OED=90°，推出Rt△ADO≌Rt△ODE，根据全等三角形的性质得到∠AOD=∠EOD，同理∠EOC=∠BOC，于是得到∠DOC=∠DOE+∠COE=90°，根据勾股定理得到CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=10，由三角形的面积公式求得OE=$\frac{OD•OC}{CD}$=$\frac{24}{5}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：如图1，连接OD、AE、OE，
∵∠BAD=∠ABC=90°，
∴AD，BC是⊙的切线，
∵CD切⊙O于E，
∴CE=CB，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠ABE，
∴∠BEC=∠CBE，
∵OA=OE，
∴OD⊥AE，
∴∠ODE=90°-∠DEA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠DEA，
∴∠ODE=∠BEC，
∴∠ADC=2∠CBE；

（2）解：如图2，连接OE，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OED=90°，
在Rt△ADO与Rt△ODE中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△ODE，
∴∠AOD=∠EOD，
同理∠EOC=∠BOC，
∴∠DOC=∠DOE+∠COE=90°，
∵OD=6，OC=8，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=10，
∴OE=$\frac{OD•OC}{CD}$=$\frac{24}{5}$，
∴⊙O的半径=$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，利用切线长定理证明三角形全等得到角相等是解题的关键．