Question

7．如图，已知平行四边形ABCD，AE⊥AD，AE=AD，DF平分∠ADC交AE于F，且AF=EF．若BE=3，求CE=1．

Answer 1

分析 延长EA至点G，使得AG=BE，连接DG，根据平行线的性质得到∠DAG=90°=∠AEB，推出△ABE≌△DGA，根据全等三角形的性质得到AB=DG，∠B=∠G，∠BAE=∠ADG，由角平分线的定义得到∠ADF=$\frac{1}{2}∠$ADC=$\frac{1}{2}∠$B，推出∠GFD=∠GDF，根据等腰三角形的性质得到GF=GD，由平行四边形的性质得到CD=AB=GD，根据勾股定理得到CD²=AE²+BE²，列方程即可得到结论．

解答  解：延长EA至点G，使得AG=BE，连接DG，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴∠DAG=90°=∠AEB，
在△ABE与△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠AEB=∠DAG}\\{AG=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DGA，
∴AB=DG，
∴∠B=∠G，∠BAE=∠ADG，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=$\frac{1}{2}∠$ADC=$\frac{1}{2}∠$B，
∴∠GFD=90°-∠ADF=90°-$\frac{1}{2}$∠ADC=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC=90°-∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ABC=∠BAE+$\frac{1}{2}$∠ADC=∠GDA+∠ADF=∠GDF，
∴GF=GD，
∵CD=AB=GD，GF=GA+AF=BE+AF，
∴CD=AF+BE，
∵AE=AD，
∴AE=BC，
∵AF=EF，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC+BE，
∵AB=CD，
∵CD²=AE²+BE²，
∴（$\frac{1}{2}$BE+$\frac{1}{2}$CE+BE）²=（BE+CE）²+BE²，
∵BE=3，
∴CE=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．