我们知道.对于二次函数y=a(x+m)2+k的图象.可由函数y=ax2的图象进行向左向右平移|m|个单位.再向上或向下平移|k|个单位得到.我们称函数y=ax2为“基本函数 .而称由它平移得到的二次函数y=a(x+m)2+k为“基本函数 y=ax2的“朋友函数．左右.上下平移的路径称为朋友路径.对应点之间的线段距离m2+k2称� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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我们知道，对于二次函数y=a（x+m）²+k的图象，可由函数y=ax²的图象进行向左向右平移|m|个单位、再向上或向下平移|k|个单位得到，我们称函数y=ax²为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数y=a（x+m）²+k为“基本函数”y=ax²的“朋友函数”．左右、上下平移的路径称为朋友路径，对应点之间的线段距离

m2+k2

称为朋友距离．
如一次函数y=2x-5是基本函数y=2x的朋友函数，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=

12+32

．
（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数y=2x-5又找到了一条朋友路径为由基本函数y=2x先向

，再向下平移7单位，相应的朋友距离为

．
（2）探究二：将函数y=

4x+5

x+1

化成y=

，使和它的基本函数y=

成为基本函数，并写出朋友路径，并求相应的朋友距离．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意把y=2x-5化为y=2（x+1）-7的形式，再根据题中所给出的例子即可得出结论；
（2）根据题中给出的基本函数的式子即可得出结论．

解答：解：（1）∵y=2x-5化为y=2（x+1）-7的形式，
∴基本函数y=2x先向左平移1个单位，再向下平移7单位，相应的朋友距离为=

12+72

．
故答案为：左平移1个单位，5

；

（2）∵函数y=

4x+5

x+1

可化为y=

x+1

+4，
∴朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移4个单位．
相应的朋友距离为

12+42

．
故答案为：

x+1

+4．

点评：本题考查的是二次函数综合题，根据题意理解“基本函数”及“朋友路径”的定义是解答此题的关键．

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．

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