【题目】等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1).
(1)求证:AM=AN;
(2)设BP=x.
①若BM= ,求x的值;
②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值;
③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H(如图2).当x为何值时,∠BAD=15°?此时,以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由.
【答案】
(1)
解:证明:∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形,
∴AD=AP,∠DAP=∠BAC=60°,∠ADM=∠APN=60°,
∴∠DAM=∠PAN.
在△ADM和△APN中,
∵ ,
∴△ADM≌△APN,
∴AM=AN
(2)
解:①∵△ABC、△ADP是等边三角形,
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°,
∴∠DAM=∠PAC,
∵∠ADM=∠B,∠DMA=∠BMP,
∴180°﹣∠ADM﹣∠DMA=180°﹣∠B﹣∠BMP,
∴∠DAM=∠BPM,
∴∠BPM=∠NAP,
∴△BPM∽△CAP,
∴ ,
∵BM= ,AC=2,CP=2﹣x,
∴4x2﹣8x+3=0,
解得x1= ,x2= .
②∵四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积,△ADM≌△APN,
∴S△ADM=S△APN,
∴S四边形AMPN=S△APM+S△APN=S△AMP+S△ADM=S△ADP.
过点P作PS⊥AB,垂足为S,
在Rt△BPS中,
∵∠B=60°,BP=x,
∴PS=BPsin60°= x,BS=BPcos60°= x,
∵AB=2,
∴AS=AB﹣BS=2﹣ x,
∴AP2=AS2+PS2= =x2﹣2x+4.
取AP的中点T,连接DT,在等边三角形ADP中,DT⊥AP,
∴S△ADP= APDT= AP× = ,
∴S=S四边形AMPN=S△ADP= = (0<x<2),
∴当x=1时,S的最小值是 .
③连接PG,若∠DAB=15°,
∵∠DAP=60°,
∴∠PAG=45°.
∵△APD和△APE是等边三角形,
∴四边形ADPE是菱形,
∴DO垂直平分AP,
∴GP=AG,
∴∠PAG=∠APG=45°,
∴∠PGA=90°.
设BG=t,在Rt△BPG中,∠ABP=60°,
∴BP=2t,PG= t,
∴AG=PG= t,
∴ t+t=2,
解得t= ﹣1,
∴BP=2t=2 ﹣2.
∴当BP=2 ﹣2时,∠BAD=15°.
猜想:以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形.
设DE交AP于点O,
∵△APD和△APE是等边三角形,
∴AD=DP=AP=PE=EA,
∴四边形ADPE为菱形,
∴AO⊥DE,∠ADO=∠AEH=30°.
∵∠DAB=15°,
∴∠GAO=45°,
∴∠AGO=45°,∠HAO=15°,
∴∠EAH=45°.
设AO=a,则AD=AE=2a,GO=AO=a,OD= a.
∴DG=DO﹣GO=( ﹣1)a.
∵∠DAB=15°,∠BAC=60°,∠ADO=30°,
∴∠DHA=∠DAH=75°.
∴DH=AD=2a,
∴GH=DH﹣DG=2a﹣( ﹣1)a=(3﹣ )a.
HE=DE﹣DH=2DO﹣DH=2 a﹣2a.
∵DG2+GH2= ,
HE2= = .
∴DG2+GH2=HE2,
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形.
【解析】(1)由已知条件可以得出AD=AP,∠DAP=∠BAC=60°,∠ADM=∠APN=60°,从而得出∠DAM=∠PAN,可以得出△ADM≌△APN,就可以得出结论.(2)①由已知条件可以得出△BPM∽△CAP,可以得出 ,由已知条件可以建立方程求出BP的值.②四边形AMPN的面积就是四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积,由△ADM≌△APN,S△ADM=S△APN , 可以得出重合部分的面积就是△ADP的面积.③连接PG,若∠DAB=15°,由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°.由已知条件可以得出四边形ADPE是菱形,就有DO垂直平分AP,得到GP=AG,就有∠PAG=∠APG=45°,得出∠PGA=90°,设BG=t,在Rt△BPG中∠APG=60°,就可以求出BP=2t,PG= t,从而求得t的值,即可以求出结论.以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形,由已知条件可知四边形ADPE为菱形,可以得到∠ADO=∠AEH=30°,根据∠DAB=15°,可以求出∠AGO=45°,∠HAO=15°,∠EAH=45°.设AO=a,则AD=AE=2a,OD= a,得到DG=( ﹣1)a,由∠DAB=15°,可以求出∠DHA=∠DAH=75°,求得GH=(3﹣ )a,HE=2( ﹣1)a,最后由勾股定理的逆定理就可以得出结论.
【考点精析】利用等边三角形的性质和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案,需要熟知等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积. 某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
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(1)猜想直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=6,cos∠ACD= ,求⊙O的半径.
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【题目】若二次函数y=(x+1)(x﹣m)的图象的对称轴在y轴的右侧,则实数m的取值范围是( )
A.m<﹣1
B.﹣1<m<0
C.0<m<1
D.m>1
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FC=FE.
(1)求证:FC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,cos∠ECF= ,求弦AC的长.
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【题目】已知整数a1 , a2 , a3 , a4 , …满足下列条件:a1=0,a2=﹣|a1+1|,a3=﹣|a2+2|,a4=﹣|a3+3|,…,依此类推,则a2012的值为( )
A.﹣1005
B.﹣1006
C.﹣1007
D.﹣2012
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【题目】为了落实省新课改精神,我是各校都开设了“知识拓展类”、“体艺特长类”、“实践活动类”三类拓展性课程,某校为了解在周二第六节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况,随机调查了部分学生作为样本进行统计,绘制了如图所示的统计图(部分信息未给出)
根据图中信息,解答下列问题:
(1)求被调查学生的总人数;
(2)若该校有200名学生参加了“体艺特长类”中的各门课程,请估计参加棋类的学生人数;
(3)根据调查结果,请你给学校提一条合理化建议.
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【题目】如图,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=37°36′,在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上一点D反射,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是( )
A.75°36′
B.75°12′
C.74°36′
D.74°12′
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