Question

【题目】问题提出：若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积，则称这个四边形为巧妙四边形．

初步思考：（1）写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称： ， ．

（2）小敏对巧妙四边形进行了研究，发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形．

如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．

求证：AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．

小敏在解答此题时，利用了“相似三角形”进行证明，她的方法如下：

在BD上取点M，使∠MCB＝∠DCA．

（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）

推广运用：如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AD＝，AB＝，CD＝2．求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）正方形，矩形（答案不惟一）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析:(1)根据巧妙四边形的定义可写出符合条件的四边形,等腰梯形,矩形,正方形等,(2)圆内接四边形对角线为圆内两条相交的弦,根据同弧所对圆周角相等可证等角,再根据两角分别对应相等的两个三角形相似可证相似三角形,根据相似三角形的性质可得对应边成比例,即可求证,(3)连接BD,可根据题目条件证明四点共圆,即四边形ABCD为圆内接四边形,再根据(2)的结论代入数值即可计算求解.

试题解析:（1）正方形,矩形（答案不惟一）,

（2）∵ 在⊙O中,∠DAC和∠DBC是所对的圆周角,

∴ ∠DAC＝∠DBC,

又 ∠MCB＝∠DCA,

∴△MCB∽△DCA,

∴,

即 BC·AD＝AC·BM,

∵ 在⊙O中,∠CDB和∠CAB是所对的圆周角,

∴ ∠CDB＝∠CAB．

又 ∠DCM＝∠ACB,

∴ △DCM∽△ACB,

∴ ,

即 AB·CD＝AC·DM,

AC·BM＝AC·(DM＋BM),

即 AB·CD＋BC·AD＝AC·BD,

（3）连接BD,取BD中点M,连接AM,CM,

在Rt△ABD中,BD==3,

在Rt△BCD中，BC==,

∵ 在Rt△ABD中,M是BD中点,

∴AM＝BD,

∵在Rt△BCD中,M是BD中点,

∴CM＝BD,

∴AM＝CM＝MB＝MD,

∴A,B,C,D四点在以点M为圆心,MA为半径的圆上,

即四边形ABCD是⊙O的内接四边形,

由（2）的结论可知AB·CD＋BC·AD＝AC·BD,

∴ AC=.