【题目】如图,一次函数分别交y轴、x 轴于A、B两点,抛物线过A、B两点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于点M,交这个抛物线于点N.求当t 取何值时,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
【答案】(1)抛物线解析式为 ;
(2)当 t=2 时,MN有最大值为 4;
(3)D(0,6)或(0,-2)或(4,4).
【解析】试题分析:
(1)先由直线分别交y轴、x轴于点A、B这一条件求出点A、B的坐标,将所求坐标代入抛物线列出关于的值即可得到所求抛物线的解析式;
(2)如图1,由题意可知点M的横坐标为t,根据点M在直线上,点N在(1)中所求抛物线上,可用含“t”的代数式表达出点M、N的坐标,结合第一象限中,点N在点M的上方,可用含“t”的代数式表达出MN的长,把所得式子配方,即可得到所求答案;
(3)由(2)中答案可得求得对应的点A、M、N的坐标,如图2分析可知点D有三种可能,其中两种情况点D在y轴上,结合AD=MN,即可求得两个符合要求的点D1、D2的坐标;由图可知第三个符合要求点D就是直线D1N和D2M的交点,求出两直线的解析式联立成方程组,解方程组即可求得第三个符合要求的点D的坐标.
试题解析:
(1)∵分别交y轴、x轴于A.、B两点,
∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0),
将x=0,y=2代入y=x+bx+c得c=2,
将x=4,y=0,c=2代入y=x+bx+c得0=16+4b+2,解得b=,
∴抛物线解析式为: ,
(2)如图1,由题意可知,直线MN即是直线,
∵点M在直线上,点N在抛物线上,
∴点M、N的坐标分别为、,
∵在第一象限中,点N在点M的上方,
∴MN=,
∴当时,MN最长=4;
(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).
以A. M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形,如图2所示:
(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a)
由AD=MN,得|a2|=4,解得a1=6,a2=2,
从而D1为(0,6)或D2(0,2),
(ii)当D不在y轴上时,由图可知D3为D1N与D2M的交点,
由D1、D2、M、N的坐标可求得直线D1N的解析式为:y=x+6,直线D2M的解析式为:y=x2,
由 解得 ,
∴D3的坐标为:(4,4),
综上所述,所求的D点坐标为(0,6),(0,2)或(4,4).
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【题目】问题一:如图1,已知A,C两点之间的距离为16 cm,甲,乙两点分别从相距3cm的A,B两点同时出发到C点,若甲的速度为8 cm/s,乙的速度为6 cm/s,设乙运动时间为x(s), 甲乙两点之间距离为y(cm).
(1)当甲追上乙时,x = .
(2)请用含x的代数式表示y.
当甲追上乙前,y= ;
当甲追上乙后,甲到达C之前,y= ;
当甲到达C之后,乙到达C之前,y= .
问题二:如图2,若将上述线段AC弯曲后视作钟表外围的一部分,线段AB正好对应钟表上的弧AB(1小时的间隔),易知∠AOB=30°.
(1)分针OD指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm;时针OE指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm.
(2)若从4:00起计时,求几分钟后分针与时针第一次重合.
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【题目】我县某初中为了创建书香校园,购进了一批图书.其中的20本某种科普书和30本某种文学书共花了1080元,经了解,购买的科普书的单价比文学书的单价多4元.
(1)购买的科普书和文学书的单价各多少元?
(2)另一所学校打算用800元购买这两种图书,问购进25本文学书后至多还能购进多少本科普书?
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【题目】如图,在相邻两点距离为1的点阵纸上(左右相邻或上下相邻的两点之间的距离都是1个单位长度),三个顶点都在点阵上的三角形叫做点阵三角形,请按要求完成下列操作:
(1)将点阵△ABC水平向右平移4个单位长度,再竖直向上平移5个单位长度,画出平移后的△A1B1C1;
(2)连接AA1、BB1,则线段AA1、BB1的位置关系为 、数量关系为 .估计线段AA1的长度大约在 <AA1< 单位长度:(填写两个相邻整数);
(3)画出△ABC边AB上的高CD.
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【题目】甲、乙在一段长2000米的直线公路上进行跑步练习,起跑时甲在起点,乙在甲的前面,若甲、乙同时起跑至甲到达终点的过程中,甲乙之间的距离y(米)与 时间x(秒)之间的函数关系如图所示.有下列说法:
①甲的速度为5米/秒;②100秒时甲追上乙;③经过50秒时甲乙相距50米;④甲到终点时,乙距离终点300米.其中正确的说法有( )
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
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【题目】如图,在直角坐标系中,有格点三角形.
(1)写出三个顶点的坐标.
(2)将三角形沿方向平移,当点的对应点在轴上时,画出平移后的三角形.
(3)在给出图形中找一格点(点除外),使三角形与面积相等,并把满足条件的格点用线连起来.
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【题目】《人民日报》2019年3月1日刊载了“2018年国民经济和社会发展统计公报”.有关脱贫攻坚的数据如下表.
年度 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
农村贫困人口/万 | 7017 | 5575 | 4335 | 3046 | 1660 |
贫困发生率/% | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.7 |
(1)在给出图形中,直观表示近年农村贫困人口人数变化情况.
(2)根据你完善的统计图,写两点你获得的信息.
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【题目】问题提出:若一个四边形的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积,则称这个四边形为巧妙四边形.
初步思考:(1)写出你所知道的四边形是巧妙四边形的两种图形的名称: , .
(2)小敏对巧妙四边形进行了研究,发现圆的内接四边形一定是巧妙四边形.
如图①,四边形ABCD是⊙O的内接四边形.
求证:AB·CD+BC·AD=AC·BD.
小敏在解答此题时,利用了“相似三角形”进行证明,她的方法如下:
在BD上取点M,使∠MCB=∠DCA.
(请你在下面的空白处完成小敏的证明过程.)
推广运用:如图②,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,AD=,AB=,CD=2.求AC的长.
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【题目】如图,点P从出发,沿所示方向运动,每当碰到长方形OABC的边时会进行反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第2018次碰到长方形的边时,点P的坐标为______.
【答案】
【解析】
根据反射角与入射角的定义作出图形;由图可知,每6次反弹为一个循环组依次循环,用2018除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.
解:如图所示:经过6次反弹后动点回到出发点,
,
当点P第2018次碰到矩形的边时为第337个循环组的第2次反弹,
点P的坐标为.
故答案为:.
【点睛】
此题主要考查了点的坐标的规律,作出图形,观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】为了保护环境,某公交公司决定购买A、B两种型号的全新混合动力公交车共10辆,其中A种型号每辆价格为a万元,每年节省油量为万升;B种型号每辆价格为b万元,每年节省油量为万升:经调查,购买一辆A型车比购买一辆B型车多20万元,购买2辆A型车比购买3辆B型车少60万元.
请求出a和b;
若购买这批混合动力公交车每年能节省万升汽油,求购买这批混合动力公交车需要多少万元?
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