Question

【题目】在平行四边形中，对角线、交于点，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，过点作，设运动时间为，

解答下列问题：

（1）当为何值时是等腰三角形？

（2）设五边形面积为，试确定与的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻使得平分，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）或或 （2） （3）存在； （4）存在；

【解析】

（1）分三种情况：，，分类讨论即可；

（2）过点作于点，先求出的面积，再求出四边形的面积，把两个面积相加即可；

（3）过点作于点，求出，再求出的面积，由第二问我们可以知道五边形面积表达式，根据列出方程即可得出答案；

（4）过点作于点，平分，利用，得出，设，则，利用，得出的表达式，在中，利用勾股定理列出方程，求出，进而求出，从而得出答案．

解：∵，，,

∴，

∴都是直角三角形，

∴，

∵四边形是平行四边形，

∴，

（1）当，

由题意知道：，∴，即；

当时，过点作于点，则，

∵，，

∴，

∴，即：，

解得：；

当时，过点作于点，则，

∵，

∴，即，

解得：；

综上所述：当、或时，是等腰三角形；

（2）过点作于点，

∵，,

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴

∴，

∴，

在中，，

，

∴，

∴；

（3）存在；

理由如下：

过点作于点，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

整理得：

解得：，

∵不能为负数，

∴舍去，

∴，

∴当时，；

（4）存在；

理由如下：

过点作于点，

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

设，则，

∵，，

∴,

∴，即，

∴，

在中，由勾股定理得：

，即，

整理得：，

解得：，（舍去），

∵不能为负数，∴舍去，

∴，

∴，

∴当时，平分．