Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；

（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形，证明详见解析；（3）．

【解析】

（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；

（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；

（3）方法1、先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．

方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可．

解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，

∴PN∥BD，PN＝BD，

∵点P，M是CD，DE的中点，

∴PM∥CE，PM＝CE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BD＝CE，

∴PM＝PN，

∵PN∥BD，

∴∠DPN＝∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCA，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，

∴PM⊥PN，

故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；

（2）△PMN是等腰直角三角形．

由旋转知，∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，

利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，

∴PM＝PN，

∴△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCE，

同（1）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC＝∠DBC，

∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC

＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC

＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACB+∠ABC＝90°，

∴∠MPN＝90°，

∴△PMN是等腰直角三角形；

（3）方法1：如图2，

同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，

∴MN最大时，△PMN的面积最大，

∴DE∥BC且DE在顶点A上面，

∴MN最大＝AM+AN，

连接AM，AN，

在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，

∴AM＝，

在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝，

∴MN最大＝，

∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（）2＝；

方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，

∴PM最大时，△PMN面积最大，

∴点D在BA的延长线上，

∴BD＝AB+AD＝14，

∴PM＝7，

∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．