Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与 BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AE．

(1)求证：BF是⊙O的切线；

(2)若AD＝4，，求BC的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2．

【解析】

（1）连接BD，因AD⊥AB，所以BD是直径．证明BF⊥DB即可．
（2）作AG⊥BC于点G．由（1）中结论∠D=∠2=∠3，分别把这三个角转化到直角三角形中，根据cos∠ABF＝，求相关线段的长．

解：（1）如图，连接BD．
∵AD⊥AB，D在圆O上，
∴∠DAB=90°，
∴DB是⊙O的直径．
∴∠1+∠2+∠D=90°．
又∵AE=AF，
∴BE=BF，∠2=∠3．
∵AB=AC，
∴∠D=∠C=∠2=∠3．
∴∠1+∠2+∠3=90°．
即OB⊥BF于B．
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）作AG⊥BC于点G．
∵∠D=∠2=∠3，
∴cosD＝cos∠3＝．
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AD=4，cosD＝，
∴BD＝ ＝5，AB＝＝3．
在Rt△ABG中，∠AGB=90°，AB=3，cos∠2＝，
∴BG＝ABcos∠2＝．
∵AB=AC，
∴BC＝2BG＝．