Question

【题目】一次函数的图象如图所示，它与二次函数的图象交于、两点（其中点在点的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点．

求点的坐标；

设二次函数图象的顶点为．

①若点与点关于轴对称，且的面积等于，求此二次函数的关系式；

②若，且的面积等于，求此二次函数的关系式．

Answer 1

【答案】点；①；②y=x2﹣x﹣3或y=﹣x2+2x+.

【解析】

（1）先求出对称轴为x=2，然后求出与一次函数y=x的交点，即点C的坐标；

（2）①先求出点D的坐标，设A坐标为（m，m），然后根据面积为3，求出m的值，得出点A的坐标，最后根据待定系数法求出a、c的值，即可求出解析式；

②过点A作AE⊥CD于E，设A坐标为（m，m），由S△ACD=10，求出m的值，然后求出点A坐标以及CD的长度，然后分两种情况：当a＞0，当a＜0时，分别求出点D的坐标，代入求出二次函数的解析式．

（1）∵y=ax2﹣4ax+c=a（x﹣2）2﹣4a+c，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=x=，故点C（2，）；

（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2，﹣），∴CD=3，设A（m，m）（m＜2），由S△ACD=3得：×3×（2﹣m）=3，解得：m=0，∴A（0，0）．

由A（0，0）、D（2，﹣）得：

，解得：a=，c=0，∴y=x2﹣x；

②设A（m，m）（m＜2），过点A作AE⊥CD于E，则AE=2﹣m，CE=﹣m，AC===（2﹣m）．

∵CD=AC，∴CD=（2﹣m），由S△ACD=10得：×（2﹣m）2=10，解得：m=﹣2或m=6（舍去），∴m=﹣2，∴A（﹣2，﹣），CD=5．分两种情况讨论：

i）当a＞0时，则点D在点C下方，∴D（2，﹣），由A（﹣2，﹣）、D（2，﹣）得：

，解得：，∴y=x2﹣x﹣3；

ii）当a＜0时，则点D在点C上方，∴D（2，），由A（﹣2，﹣）、D（2，）得：，解得：，∴y=﹣x2+2x+．

综上所述：y=x2﹣x﹣3或y=﹣x2+2x+．