Question

已知：如图，点C为线段AB上的一点，△ACM和△CBN是等边三角形，直线AN、CM交于点E，直线BM、CN交于点F．
（1）求证：AN=BM；
（2）请你猜想△CEF是什么形状的三角形，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由等边三角形的性质可得AC=CM，BNC=CN，再利用角的和差可得到∠ACN=BCM，可证明△ACN≌△MCB，可得到AN=BM；
（2）由条件可得∠ECF=60°，结合（1）可得到条件可得∠CAN=∠CBM，可证明△CEN≌△CFB，可得CE=CF，可知△CEF为等边三角形．

解答：（1）证明：∵△ACM和△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=CN，∠MCA=∠NCB=60°，
∴∠ACN=∠MCB=120°，
在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；
（2）解：△CEF为等边三角形，证明如下：
∵△ACM和△CBN是等边三角形，
∴∠MCA=∠NCB=60°，
∴∠ECF=180°-60°-60°=60°，
又△ACN≌△MCB，
∴∠ENC=∠FBC，
在△CEN和△CFB中，

∠ENC=∠FBC CN=CB ∠ECN=∠FCB

，
∴△CEN≌△CFB（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF为等边三角形．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，掌握全等三角形和等边三角形的判定方法是解题的关键．