Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E的坐标为（4，0），顶点G的坐标为（0，2），将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．

（1）求图象经过点A的反比例函数的解析式；
（2）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B，直接写出直线AB的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠OGA=∠M=90°∠GOA=∠MON

∴△OGA∽△OMN，

∴

∴ ，

解得AG=1．

设反比例函数y= ，把A（1，2）代入得k=2，

∴过点A的反比例函数的解析式为：y= ．

（2）

解：∵点B的横坐标为4，x=4代y= 中y= ，故（4， ）

设直线AB的解析式y=mx+n，把A（1，2）、B（4， ）代入，得

，

解得 ．

∴直线AB的解析式y=﹣ x+ ．

【解析】（1）先根据两个角对应相等，即可证明△OGA和△OMN相似，要求反比例函数的解析式，则需求得点A的坐标，即要求得AG的长，根据旋转的两个图形全等的性质以及相似三角形的对应边的比相等可以求解；（2）要求直线AB的解析式，主要应求得点B的坐标．根据点B的横坐标是4和（1）中求得的反比例函数的解析式即可求得．再根据待定系数法进行求解．
【考点精析】本题主要考查了反比例函数的性质的相关知识点，需要掌握性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能正确解答此题．