Question

如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=-

3

3

x²+bx+c过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在求出P的坐标，不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB面积为S，求S的最大（小）值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；
（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．

解答：解：（1）如答图1，连接CB．
∵BC=2，OC=1
∴OB=

BC2-OC2

=

4-1

=

3

∴B（0，

3

）
将A（3，0），B（0，

3

）代入二次函数的表达式得：

-3 3 +3b+c=0 c= 3

，
解得：

b= 2 3 3 c= 3

，
∴y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；

（2）存在．
如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P₁，P₂．
∵B（0，

3

），O（0，0），
∴直线l的表达式为y=

3

2

，
代入抛物线的表达式，得-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

=

3

2

，
解得x₁=1+

1

2

10

或x₂=1-

1

2

10

，
∴P₁（1-

1

2

10

，

3

2

）或P₂（1+

1

2

10

，

3

2

）；

（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，
设M（x_m，y_m），
则S_△MAB=S_梯形MBOH+S_△MHA-S_△OAB
=

1

2

（MH+OB）•OH+

1

2

HA•MH-

1

2

OA•OB
=

1

2

（y_m+

3

）x_m+

1

2

（3-x_m）y_m-

1

2

×3×

3

=

3

2

x_m+

3

2

y_m-

3 3

2

，
∵y_m=-

3

3

x_m²+

2 3

3

x_m+

3

，
∴S_△MAB=

3

2

x_m+

3

2

（-

3

3

x_m²+

2 3

3

x_m+

3

）-

3 3

2

=-

3

2

x_m²+

3 3

2

x_m
=-

3

2

（x_m-

3

2

）²+

9 3

8

，
∴当x_m=

3

2

时，S_△MAB取得最大值，最大值为

9 3

8

．

点评：此题属于二次函数综合题，考查了二次函数相关性质、圆的性质、垂直平分线、勾股定理、面积求法等知识点．其中第（2）问中注意垂直平分线与抛物线的交点有两个，不要漏解；第（3）问中，重点关注图形面积的求法以及求极值的方法．