Question

【题目】已知，如图，ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，BE，CF相交于点O．

（1）求证：BE⊥CF；

（2）试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；

（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AF=DE，理由略；（3）四边形ABCD是矩形.

【解析】

（1）平行四边形中邻角互补，且BE、CF分别为一组邻角的平分线，所以BE和CF垂直．
（2）在三角形AEB中，因为BE为平分线，AD和BC平行，所以可得∠ABE=∠AEB，即AB=AE，同理，DF=DC，所以AF=DE．
（3）当△BOC为等腰直角三角形时，即∠BOC=90°，由题可知，∠ABC=∠BCD=90°，有一个角是直角的平行四边形为矩形．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线
∴∠EBC+∠FCB=90°
∴∠BOC=90°
故BE⊥CF;
（2）解：AF=DE
理由如下：
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠CBE
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE
∴∠AEB=∠ABE
∴AB=AE
同理CD=DF
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∴AE=DF
∴AF=DE.

（3）解：当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形．

理由：∵△BOC为等腰直角三角形，

∴∠BOC=90°，∠CBE=∠BCF=45°,

∵BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，

∴∠ABC=∠BCD=90°,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴四边形ABCD是矩形.