Question

14．已知点A在二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-bx-$\frac{3}{2}$（b为常数，b＜0）的图象上，A点的横坐标为m，边长为1的正方形ABCD中，AB⊥x轴，点C在点A的右下方．
（1）若A点坐标为（-2，-$\frac{1}{2}$），求二次函数图象的解析式；
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象与（1）中的抛物线在第一象限内交点的横坐标为x₀，且满足$\frac{3}{2}$＜x₀＜2，试确定整数k的值．
（3）若二次函数图象与CD边相交于点P（不与D点重合），求b-m的范围．

Answer 1

分析 （1）将A点坐代入解析式直接求出；
（2）利用反比例函数与二次函数在$\frac{3}{2}$＜x＜2这个范围内的增减性，得到x分别取两个端点值时的函数值的大小关系，从而得到关于k的不等式组，解得k的取值范围，取出范围内的整数解即可．
（3）用m表示出C、P、D三点的纵坐标，根据P点要处在C、D之间可列出两个不等式，化简整理即可．

解答 解：（1）将（-2，-$\frac{1}{2}$）代入二次函数解析式解得：b=-$\frac{1}{2}$，
二次函数的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$；
（2）当$\frac{3}{2}$＜x＜2，
对于y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，y随着x的增大而增大，
对于y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0），y随着x的增大而减小．
所以当x=$\frac{3}{2}$时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，
即：$\frac{2k}{3}＞\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{2}+\frac{1}{2}×\frac{3}{2}-\frac{3}{2}$，解得：$k＞\frac{9}{16}$；
当x=2时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，
即：$\frac{k}{2}＜\frac{1}{2}×{2}^{2}+\frac{1}{2}×2-\frac{3}{2}$，解得：k＜3，
∴$\frac{9}{16}＜k＜3$，
∵k是整数，
∴k=1，2；
（3）∵A点的横坐标为m，正方形ABCD边长为1，
∴A（m，$\frac{1}{2}{m}^{2}-bm-\frac{3}{2}$），
B（m，$\frac{1}{2}{m}^{2}-bm-\frac{5}{2}$），
C（m+1，$\frac{1}{2}{m}^{2}-bm-\frac{5}{2}$），
D（m+1，$\frac{1}{2}{m}^{2}-bm-\frac{3}{2}$），
P（m+1，$\frac{1}{2}{（m+1）}^{2}-b（m+1）-\frac{3}{2}$），
∵$\frac{1}{2}{m}^{2}-bm-\frac{5}{2}$≤$\frac{1}{2}{（m+1）}^{2}-b（m+1）-\frac{3}{2}$，
解得：b-m≤$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{1}{2}{（m+1）}^{2}-b（m+1）-\frac{3}{2}$＜$\frac{1}{2}{m}^{2}-bm-\frac{3}{2}$，
解得：b-m＞$\frac{1}{2}$，
综上所述，$\frac{1}{2}$＜b-m≤$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数和反比例函数在特定范围内的增减性、不等式与不等式组等重要知识点，有一点综合性，难度不大，但解法巧妙．第（2）问的关键是利用函数增减性列出不等式组，第（3）问的关键是利D、P、C三点的位置关系列出不等式组．