Question

9．如图，以y轴为对称轴的抛物线y=ax²+k（a≠0）和直线l交于A（-2，3），B（4，-3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点C（-1，0），D（-3，0），E（0，3），抛物线上是否存在点P，使以点C、D、E、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线l上方的抛物线上是否存在点M，使得△ABM的面积最大？若存在，求出△ABM的最大面积和此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接将A、B坐标代入解析式求之即可；
（2）过点E作x轴的平行线交抛物线G、H两点，通过计算得GE=CD，EH=CD，说明GHCD和EHCD均为平行四边形，也就是说G、H就是所求的P点；
（3）画出△ABM，过点M作y轴的平行线交AB于点N，则${S}_{△AMN}=\frac{1}{2}×（{x}_{B}-{x}_{A}）×（{y}_{M}-{y}_{N}）$，设出M的横坐标，纵坐标用横坐标表示，N点横坐标与M相同，纵坐标同样用横坐标表示，这样就把△ABM的面积表示成了点M横坐标的二次函数，通过配方求出最大值．

解答 解：（1）将A（-2，3），B（4，-3）代入抛物线解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{3=4a+k}\\{-3=16a+k}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{k=5}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为：$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+5$；
（2）过点E作x轴的平行线交抛物线G、H两点，如图1，

∴G（-2，3），H（2，3），
∴GE=HE=2，
∵C（-1，0），D（-3，0），
∴CD=2，
∴GHCD和EHCD均为平行四边形，
即G、H即为所求P点，
∴满足要求的P点的坐标为：（-2，3），（2，3）；
（3）在直线l上方的抛物线上任取一点M，过M作MN平行于y轴交直线AB于N，连接AM、BM，如图2，

∵A（-2，3），B（4，-3），
∴AB的解析式为：y=-x+1，
设M（m，$-\frac{1}{2}{m}^{2}+5$），则N（m，-m+1），
${S}_{△AMN}=\frac{1}{2}×（{x}_{B}-{x}_{A}）×（{y}_{M}-{y}_{N}）$=$-\frac{3}{2}{m}^{2}+3m+12$=$-\frac{3}{2}（m-1）^{2}+\frac{27}{2}$，
∴当m=1时，△ABM的面积最大，且最大面积为$\frac{27}{2}$，
此时M点的坐标为（1，$\frac{9}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积的坐标表示、配方法求二次函数最值等知识点，综合性较强，难度中等．第（3）问当中，过三角形的一个顶点作y轴的平行线与三角形的对边相交，然后用水平宽乘以铅垂高的一半来表示三角形的面积这一重要方法是处理坐标系当中面积问题的诀窍，务必掌握．