【题目】如图,在矩形中,已知
,点
是对角线
的中点,点
是
边上的动点,连接
并延长交于
点
,过
作
,分别交矩形的边于点
(1)当四点分别分布在矩形
的四条边上(不包括顶点)时,
①求证:四边形是菱形.
②求的取值范围.
(2)当四边形的面积为144时,求
的长.
【答案】(1)①见解析;②;(2)
为
或
或2或14
【解析】
(1)①根据题意利用对角线垂直且平分的四边形是菱形判定四边形是菱形.
②找极限点,当与
重合时,在
和
中;
可求得DE,进而求出AE;当
与
重合时,同理可得:
,即得到AE的取值范围;
(2)分两种情况:
①当四边分别分布在矩形
的两条边上时,当点
在边
上,由题(1)同理可证:四边形
是菱形,且此时菱形的高为12,根据面积为144可求出
,即四边形
是正方形,可得到AE=2;同理当G运动到BC上时,AE=14;
②当四点分别分布在矩形
的四条边上(不包括顶点)时,如图6.过点
作
,交
分别于点P,Q,得到
,根据相似比设
代入菱形面积公式求出a,再由勾股定理求出PE,即可求出
,同理G运动到靠近C时根据对称性找出
.
解:(1)①证明:在矩形
中,
,
.
又
同理可证:
又,
四边形
是菱形.
②当与
重合时,如图2,
在矩形
中,
由勾股定理可得:
且
在和
中,
,
当与
重合时,如图3,同理可得:
,
,
当四点分别分布在矩形
的四条边上(不包括顶点)时,
的取值范围为
.
(2)
①当四边分别分布在矩形
的两条边上时,当点
在边
上,如图4,由题(1)同理可证:四边形
是菱形,且此时菱形的高为12
,
.
故
四边形
是正方形
由于正方形和矩形
对称轴为同一条,
,
同理可证:当点在边
上时,如图5,
.
②当四点分别分布在矩形
的四条边上(不包括顶点)时,如图6.过点
作
,交
分别于点P,Q
易得.且
,
,
,
设,
,
,
,
当点
在点
左侧时,
,
由对称性可得,当点在点
右侧时,如图7,
;
综上所述:为
或
或2或14.
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【题目】如图,已知在平行四边形ABCD中,AB=10,BC=15,tan∠A=,点P是边AD上一点,联结PB,将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ,如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上,那么AP的值是_____.
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【题目】小李在景区销售一种旅游纪念品,已知每件进价为6元,当销售单价定为8元时,每天可以销售200件.市场调查反映:销售单价每提高1元,日销量将会减少10件,物价部门规定:销售单价不能超过12元,设该纪念品的销售单价为x(元),日销量为y(件),日销售利润为w(元).
(1)求y与x的函数关系式.
(2)要使日销售利润为720元,销售单价应定为多少元?
(3)求日销售利润w(元)与销售单价x(元)的函数关系式,当x为何值时,日销售利润最大,并求出最大利润.
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【题目】2020年突如其来的肺炎疫情,给我们的生活和学习带来了诸多不便.图1是2月1日至2月5日全国“新冠肺炎”疫情新增数据统计图,为了控制疫情蔓延扩散,国家全面落实疫情防控工作,举国上下众志成城,图2是3月5日至3月9日全国“新冠肺炎”疫情新增数据统计图,请根据统计图解答以下问题:
(1)写出2月3日全国新增确诊病例数,并计算3月5日至3月9日全国新增确诊病例数的平均数.
(2)对比两幅统计图中的数据,选择一个角度分析评价此次疫情控制情况.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2﹣4ax+3的图象与x轴正半轴交于点A、B,与y轴相交于点C,顶点为D,且tan∠CAO=3.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点P是对称轴右侧抛物线上的点,联结CP,交对称轴于点F,当S△CDF:S△FDP=2:3时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,将△PCD沿直线MN翻折,当点P恰好与点O重合时,折痕MN交x轴于点M,交y轴于点N,求的值.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)求证:;
(3)若BE=8,sinB=,求AD的长,
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【题目】如图所示,ABCD为平行四边形,AD=13,AB=25,∠DAB=α,且cosa=,点E为直线CD上一动点,将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF,连接CF.
(1)求平行四边形ABCD的面积;
(2)当点C、B、F三点共线时,设EF与AB相交于点G,求线段BG的长;
(3)求线段CF的长度的最小值.
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【题目】一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=(n>0)交于点A(1,3),B(3,m).
(1)分别求两个函数的解析式;
(2)根据图像直接写出,当x为何值时,y1<y2;
(3)在x轴上找一点P,使得△OAP的面积为6,求出P点坐标.
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