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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数yax24ax+3的图象与x轴正半轴交于点AB,与y轴相交于点C,顶点为D,且tanCAO3

1)求这个二次函数的解析式;

2)点P是对称轴右侧抛物线上的点,联结CP,交对称轴于点F,当SCDFSFDP23时,求点P的坐标;

3)在(2)的条件下,将△PCD沿直线MN翻折,当点P恰好与点O重合时,折痕MNx轴于点M,交y轴于点N,求的值.

【答案】1yx24x+3;(2(58);(3

【解析】

1)在RtAOC中,tanCAO3,求出点A的坐标,即可求解;

2)利用,即可求解;

3)证明∠ONM=∠POH,则

解:(1)∵二次函数yax24ax+3的图象与y轴交于点C

∴点C的坐标为(03),

OC3

连接AC,在RtAOC中,tanCAO3

OA1

将点A10)代入yax24ax+3,得a4a+30

解得:a1

所以,这个二次函数的解析式为 yx24x+3

2)过点CCGDF,过点PPQDF,垂足分别为点GQ

∵抛物线yx24x+3的对称轴为直线x2

CG2

PQ3

∴点P的横坐标为5

∴把x5代入yx24x+3,得 y8

∴点P的坐标为(58);

3)过点PPHOM,垂足分别为点H

∵点P的坐标为(58),

OH5PH8

∵将△PCD沿直线MN翻折,点P恰好与点O重合,

MNOP

∴∠ONM+NOP90°

又∵∠POH+NOP90°

∴∠ONM=∠POH

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