【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2﹣4ax+3的图象与x轴正半轴交于点A、B,与y轴相交于点C,顶点为D,且tan∠CAO=3.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点P是对称轴右侧抛物线上的点,联结CP,交对称轴于点F,当S△CDF:S△FDP=2:3时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,将△PCD沿直线MN翻折,当点P恰好与点O重合时,折痕MN交x轴于点M,交y轴于点N,求的值.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)(5,8);(3)
【解析】
(1)在Rt△AOC中,tan∠CAO==3,求出点A的坐标,即可求解;
(2)利用,即可求解;
(3)证明∠ONM=∠POH,则.
解:(1)∵二次函数y=ax2﹣4ax+3的图象与y轴交于点C,
∴点C的坐标为(0,3),
∴OC=3,
连接AC,在Rt△AOC中,tan∠CAO==3,
∴OA=1,
将点A(1,0)代入y=ax2﹣4ax+3,得a﹣4a+3=0,
解得:a=1.
所以,这个二次函数的解析式为 y=x2﹣4x+3;
(2)过点C作CG⊥DF,过点P作PQ⊥DF,垂足分别为点G、Q.
∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2,
∴CG=2,
∵,
∴PQ=3,
∴点P的横坐标为5,
∴把x=5代入y=x2﹣4x+3,得 y=8,
∴点P的坐标为(5,8);
(3)过点P作PH⊥OM,垂足分别为点H,
∵点P的坐标为(5,8),
∴OH=5,PH=8,
∵将△PCD沿直线MN翻折,点P恰好与点O重合,
∴MN⊥OP,
∴∠ONM+∠NOP=90°,
又∵∠POH+∠NOP=90°,
∴∠ONM=∠POH,
∴.
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【题目】如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=8,点P是射线AC上一点(不与点A、C重合),过P作PM⊥AB,垂足为点M,以M为圆心,MA长为半径的⊙M与边AB相交的另一个交点为点N,点Q是边BC上一点,且CQ=2CP,联结NQ.
(1)如果⊙M与直线BC相切,求⊙M的半径长;
(2)如果点P在线段AC上,设线段AP=x,线段NQ=y,求y关于x的函数解析式及定义域;
(3)如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P,求线段AP的长.
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【题目】如图,E,F分别是边长为2cm的正方形ABCD的边AD,CD上的动点,满足AE=DF,连接BE,AF交于G,连接DG,则DG的最小值是_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,如果一个图形向右平移1个单位,再向上平移3个单位,称为一个变换,已知点,经过一个变换后对应点为,经过2个变换后对应点为,经过个变换后对应点为,则用含的代数式教示点的坐标为__________.
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【题目】如图,在矩形中,已知,点是对角线的中点,点是边上的动点,连接并延长交于点,过作,分别交矩形的边于点
(1)当四点分别分布在矩形的四条边上(不包括顶点)时,
①求证:四边形是菱形.
②求的取值范围.
(2)当四边形的面积为144时,求的长.
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【题目】如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内,CM∥AN).
(1)求灯杆CD的高度;
(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.73.sin37°≈060,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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【题目】为丰富学生课余生活,引领学生多读书、会读书、读好书,重庆一中聘请了西南师大教授讲授“诗歌赏析”.为激励学生积极参与,凡听课者每人发了一张带号码的入场券,授课结束后将进行抽奖活动.设立一等奖一名,获100元购书卡,二等奖3名分别获50元购书卡,三等奖6名分别获价值20元的书一本,纪念奖若干分别获价值2元的笔一支.工作人员对听课学生人数情况进行了统计,绘制了如下统计图:
请根据以上信息解答下列问题
(1)这次授课共 名学生参加,扇形图中的a= ,b= ;
(2)补全条形统计图;
(3)学校共花费570元设奖,则本次活动中奖的概率是多大?
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【题目】学校准备购进一批节能灯,已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元;3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.
(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元;
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣,与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C,点D为线段AC的中点,直线BD与抛物线交于另一点E,与y轴交于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线BE上方抛物线上一动点,连接PD、PF,当△PDF的面积最大时,在线段BE上找一点G,使得PG﹣EG的值最小,求出PG﹣EG的最小值.
(3)如图2,点M为抛物线上一点,点N在抛物线的对称轴上,点K为平面内一点,当以A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时,请求出点N的坐标.
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