Question

【题目】如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD、PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值．

（3）如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，请求出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+﹣x+2；（2）；（3）N点的坐标为：或（）或（﹣）或（﹣）或（﹣）或或（﹣）

【解析】

(1)根据对称轴公式列出等式,带点到抛物线列出等式,解出即可;

(2)先求出A、B、C的坐标,从而求出D的坐标算出BD的解析式,根据题意画出图形,设出P、G的坐标代入三角形的面积公式得出一元二次方程,联立方程组解出即可;

(3)分类讨论①当AM是正方形的边时，(ⅰ)当点M在y轴左侧时(N在下方), (ⅱ)当点M在y轴右侧时,②当AM是正方形的对角线时,分别求出结果综合即可．

(1)抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，与x轴交于点B(1，0)．

∴，解得，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+﹣x+2；

(2)抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，

∴A(﹣4，0)，B(1，0)，C(0，2)．

∵点D为线段AC的中点，

∴D(﹣2，1)，

∴直线BD的解析式为：，

过点P作y轴的平行线交直线EF于点G，如图1，

设点P(x，)，则点G(x，)．

∴，

当x＝﹣时，S最大，即点P(﹣，)，

过点E作x轴的平行线交PG于点H，

则tan∠EBA＝tan∠HEG＝，

∴，故为最小值，即点G为所求．

联立 解得，(舍去)，

故点E(﹣,)，

则PG﹣的最小值为PH＝．

(3)①当AM是正方形的边时，

(ⅰ)当点M在y轴左侧时(N在下方)，如图2，

当点M在第二象限时，过点A作y轴的平行线GH，过点M作MG⊥GH于点G，过点N作HN⊥GH于点H，

∴∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，

∴∠GMA＝∠HAN，

∵∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，

∴△AGM≌△NHA(AAS)，

∴GA＝NH＝4﹣，AH＝GM，

即y＝﹣，/span>

解得x＝，

当x＝时，GM＝x﹣(﹣4)＝，yN＝﹣AH＝﹣GM＝，

∴N(,)．

当x＝时，同理可得N(,)，

当点M在第三象限时，同理可得N(,)．

(ⅱ)当点M在y轴右侧时，如图3，

点M在第一象限时，过点M作MH⊥x轴于点H

设AH＝b，同理△AHM≌△MGN(AAS)，

则点M(﹣4+b，b﹣)．

将点M的坐标代入抛物线解析式可得：b＝(负值舍去)

yN＝yM+GM＝yM+AH＝，

∴N(﹣,)．

当点M在第四象限时，同理可得N(﹣,-)．

②当AM是正方形的对角线时，

当点M在y轴左侧时，过点M作MG⊥对称轴于点G，

设对称轴与x轴交于点H，如图4．

∵∠AHN＝∠MGN＝90°，∠NAH＝∠MNG，MN＝AN，

∴△AHN≌△NGN(AAS)，

设点N(﹣,π)，则点M(﹣,)，

将点M的坐标代入抛物线解析式可得, (舍去)，

∴N(,)，

当点M在y轴右侧时，同理可得N(,)．

综上所述：N点的坐标为：或()或(﹣)或(﹣)或(﹣)或或(﹣)．