Question

【题目】如图，直线l与⊙O相离，OA⊥ 于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OB，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由OP=OB得∠OPB=∠OBP，由OA⊥得∠OAC=90°，则∠ACB+∠APC=90°，而∠APC=∠OPB=∠OBP，所以∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理得到直线AB是⊙O的切线；

（2）根据勾股定理求得AB=4，PC=，过O作OD⊥PB于D，则PD=DB，通过证得△ODP∽△CAP，得到 求得PD，即可求得PB．

（1）证明：如图，连结OB，则OP＝OB，

∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，

AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

而OA⊥，即∠OAC＝90°，

∴∠ACB+∠CPA＝90°，

即∠ABP+∠OBP＝90°，

∴∠ABO＝90°，

OB⊥AB，

故AB是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知：∠ABO＝90°，

而OA＝5，OB＝OP＝3，

由勾股定理，得：AB＝4，

过O作OD⊥PB于D，则PD＝DB，

∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，

∴△ODP∽△CAP，

∴

又∵AC＝AB＝4，AP＝OA﹣OP＝2，

∴

∴

∴