Question

【题目】如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．

（1）请你探究：，是否都成立？

（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．

（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．

Answer 1

【答案】（1）成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD＝∠BAD＝30°，AB＝AC，则DB＝CD，易得；由于∠C1AB1＝60°，得∠B1＝30°，则AB1＝2AC1，同理可得到DB1＝2DC1，易得；

（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E＝∠CAD＝∠BAD，则BE＝AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到，而BE＝AB，于是有，这实际是三角形的角平分线定理；

（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，利用相似三角形的性质解答即可．

解：（1） 等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，

因为B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1，

∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，

AD＝B1D，

综上：这两个等式都成立；

（2）可以判断结论仍然成立，证明如下：

如图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，

线段AD为其内角角平分线

∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD

∴BE＝AB，

又∵BE＝AB．

∴，

即对任意三角形结论仍然成立；

（3）如图（2）所示，因为Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，

∵AD为△ABC的内角角平分线，

∴

∵DE∥AC，

∵DE∥AC，

∴△DEF∽△ACF，

∴