Question

1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=DF．
（1）试判断△ECF的形状并说明理由；
（2）若AB=6，那么△ECF的周长是否存在最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）要判断△ECF的形状，只要得到各边的关系或者各角的关系即可，根据在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=DF，可以得到三角形CEF各边的关系，从而可以解答本题；
（2）由题意可得，当边CE最短时，则△CEF的周长最短，根据点C到线段AB的最短距离是CE⊥AB，可以得到CE的长，本题得以解决．

解答 解：（1）△ECF是等边三角形，
理由：连接CA，如右图所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AE=DF，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=120°，
∴∠FAC=60°，BE=AF，AB=BC=AC，
在△AFC和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BE}\\{∠FAC=∠B}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BEC（SAS）
∴CF=CE，∠ACF=∠BCE，
又∵∠BCE+∠ECA=60°，
∴∠ECA+∠ACF=60°，
∴△ECF是等边三角形；
（2）若AB=6，那么△ECF的周长存在最小值，最小值是3$\sqrt{3}$；
理由：∵∠B=60°，AB=2，点C到线段AB的最短距离是当线段CE⊥AB时，
∴∠BEC=90°，
∴CE=$\sqrt{3}$，
由（1）知△CEF是等边三角形，
∴△ECF的周长的最小值是$3\sqrt{3}$

点评 本题考查菱形的性质、最短路线问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．