Question

13．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否一定成立？说出你的理由；
②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax²+x+c经过A、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB，而E是BC中点，从而只需取AB点G，连接EG，则有AG=CE，BG=BE，∠AGE=∠ECF，易得△AGE≌△ECF；
（2）①由于AB=BC，所以只要AG=EC就有BG=BE，就同样可得△AGE≌△ECF，于是截取AG=EC，证全等即可；
②根据A、D两点的坐标求出抛物线解析式，设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将F点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标．

解答 解：（1）如图1，取AB的中点G，连接EG．△AGE≌△ECF．

（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．
证明：如图2，在AB上截取AG=EC．

∵AB=BC，
∴BG=BE，
∴△GBE是等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF．
②由题意可知抛物线经过A（0，1），D（1，1）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1+c=1}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+x+1，
过点F作FH⊥x轴于H，
由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a-1，
∴点F的坐标为F（a，a-1），
∵点F恰好落在抛物线y=-x²+x+1上，
∴a-1=-a²+a+1，
∴a=$\sqrt{2}$（负值不合题意，舍去），
点F的坐标为F（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}-1$）..

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等等三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式等知识点，难度不大，属于中档题．在构造全等三角形时，要先明确已经具备哪些相等条件，还缺什么条件，然后结合全等三角形的判定定理很容易作出辅助线．