Question

8．已知抛物线y=x²-2x-3与x轴相交于A、B两点，其顶点为M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象．如图，当直线y=-x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为n＞$\frac{21}{4}$或-1＜n＜3．

Answer 1

分析 （1）根据解析式求与x轴交点A、B的坐标，确定二次函数的顶点M，由翻折性质求新抛物线顶点坐标为（1，4），得出新抛物线的解析式；
（2）求直线y=-x+n过两个边界点时对应的n的值，并求直线与新抛物线相切时的n值，继而得出n的取值范围．

解答 解：当y=0时，y=x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4），
如图，作直线y=-x，
分别过A、B作直线y=-x的平行线，
当直线y=-x+n经过A（-1，0）时，1+n=0，n=-1，
当直线y=-x+n经过B（3，0）时，-3+n=0，n=3，
∴n的取值范围为：-1＜n＜3，
根据题意得：翻折后的顶点坐标为（1，4），
∴翻折后的抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
当直线y=-x+n与抛物线y=-x²+2x+3只有一个公共点时，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+n}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
-x²+2x+3=-x+n，
-x²+3x+3-n=0，
△=9+4（3-n）=0，
n=$\frac{21}{4}$，
综上所述：当直线y=-x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为n＞$\frac{21}{4}$或-1＜n＜3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点和几何变换问题，明确抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，即翻折前后的点关于x轴对称，先求特殊点，即顶点坐标，从而求出翻折后的抛物线的解析式，对于第二问中，同样先求直线过边界时对应的n的值，利用数形结合的思想确定其结果．