Question

18．如图，△ABC向外侧作等腰Rt△ABD与Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，F为BC的中点，连接F、A并延长交DE于G点，请问：AF与DE之间存在怎样的数量关系和位置关系？

Answer 1

分析 延长AF到H，使AF=FH，连结BH．首先依据SS证明△AFC≌△HFB，接下来证明∠ABH=∠DAE，然后依据SAS证明△ABH≌△DAE，依据全等三角形的性质可得到AF与DE的数量关系和位置关系．

解答 解：DE=2AF且DE⊥AF．
理由：延长AF到H，使AF=FH，连结BH．

在△AFC和△HFB中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=FH}\\{∠AFC=∠HFB}\\{BF=FC}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△HFB．
∴AC=BH，∠ACF=∠FBH．
∴∠ABH=180°-∠BAC．
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠EAC=90°．
∴AE=BH，∠DAE=180°-∠BC．
∴∠ABH=∠DAE．
在△ABH和△DAE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABH=∠DAE}\\{BH=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△DAE．
∴AH=ED，∠BAH=∠ADE．
∵AH=2AF，∠BAH+∠DAG=90°，
∴DE=2AF，∠GAD+∠GDA=90°，
∴AF⊥DE．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的做法是解题的关键．