Question

13．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，连接AE．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）过点C作CM⊥AF于M点，若CM=4，BE=6，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，然后由等角的余角相等，证得∠1=∠2，继而证得结论；
（2）由圆周角定理，易证得∠2=∠4，又由AB为直径，CM⊥AF，可求得CE=CM=4，继而求得AB的长，则可求得答案．

解答 （1）证明：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠BAF=90°．
∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°．
∴∠1=∠2．
∵AB=BC，
∴∠ABC=2∠1=2∠2；

（2）解：∵∠1=∠2=∠3，∠3=∠4，
∴∠2=∠4．
∵AB是直径，
∴CE⊥AE，
∵CM⊥AF，CM=4，
∴CE=CM=4，
∵BE=6，
∴AB=BC=BE+EC=10．
在Rt△ABE中，$AE=\sqrt{A{B^2}-B{E^2}}=\sqrt{{{10}^2}-{6^2}}=8$．

点评 此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．