Question

5．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD、BD，已知AB=6，BC=2．
（1）求AC、AD、BD的长；
（2）求四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析 根据圆周角定理得到∠ACB=∠ACD=90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD=90°，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×AB=3$\sqrt{2}$；
（2）四边形ACBD的面积=$\frac{1}{2}$×AD×BD+$\frac{1}{2}$×BC×AC=9+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是圆周角定理、勾股定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．