Question

3．如图，△ABC中，BC=4，∠BAC=60°，且AB≠AC，若∠A的内外角平分线分别交BC的中垂线于D、E，试求DE的长度．

Answer 1

分析 先证E、B、C、A四点共圆，考虑到∠BAC=60°，于是以BC为边向上构造等边三角形，用同一法轻松得出结论，进而由∠DEC=∠DAC=30°得出E、D、C、A四点共圆，从而∠DCE=∠DAE=90°，再结合BC=4的已知条件即可算出答案．

解答 解：如图，以BC为边作等边三角形BCF，则F必在BC的中垂线上，

由∠BFC=∠BAC=60°可知F、B、C、A四点共圆，
连接FA，则∠FAB=∠FCB=60°=∠EAB，
∴点E、F重合，
∴E、A、C、B四点共圆，
∵∠CED=∠BAD=30°，
∴E、D、C、A四点共圆，
∴∠ECD=∠EAD=90°，
又∵BC=4，
∴ED=$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角形内外角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、四点共圆的判断及性质、解直角三角形等重要知识点和方法，有一定难度．巧妙地证出E、B、C、A四点共圆是解决本题的关键．