Question

15．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称矩形，正方形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标．
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到ADBE，连接AD、DC，∠DCB=30°．求证：DC+BC=AC，即四边形ABCD是勾股四边形．
（4）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AD、DC，得到ABCD，则∠DCB=$\frac{α}{2}$°，四边形ABCD是勾股四边形．

Answer 1

分析 （1）根据定义和勾股四边形的性质，有矩形或正方形或直角梯形满足题意；
（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案；
（3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形；
（4）连接CE，证明△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形．

解答 解：（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：矩形，正方形；
故答案为：矩形，正方形；

（2）如图1所示：M（3，4），M（4，3）；

（3）证明：如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，又
∵∠CBE=60，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60，
∵∠DCB=30，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
∴即四边形ABCD是勾股四边形．

（4）如图3，当∠DCB=$\frac{α}{2}$，四边形ABCD是勾股四边形，
理由：连接CE，
由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
又∵∠CBE=α，
∴∠BCE=∠BEC=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
∴即四边形ABCD是勾股四边形
故答案为：$\frac{a}{2}$．

点评 本题考查了四边形的综合以及勾股定理旋转的性质等知识，解答本题的关键是仔细审题，了解勾股四边形的定义及性质，难点在第四问，注意等量代换法的应用．