Question

【题目】如图，在线段AB上取一点C(非中点)，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于F，连接BD交CE于G，AE和BD交于点H，则下列结论：①AE＝DB；②不另外添加线，图中全等三角形只有1对；③若连接FG，则△CFG是等边三角形；④若连接CH，则CH平分∠FHG.其中正确的是________(填序号)．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】根据等边三角形的性质得到∠ACD=∠BCE=60°，证得∠BCD=∠ACE，推出△ACE≌△DCB（SAS），根据全等三角形的性质得到AE=BD，故①正确，∠CAE=∠CDG，证得∠ACD=∠DCE，推出△ACF≌△DCG，同理△BCG≌△ECF，故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=CG，由∠FCG=60°，得到△FCG是等边三角形；故③正确，过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，推出△ACM≌△DCN，根据全等三角形的性质得到CM=CN，根据角平分线的性质得到CH平分∠FHG，故④正确．

∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，∴∠BCD=∠ACE．在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正确；

∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDG．

∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠DCE．在△ACF与△DCG中，，∴△ACF≌△DCG，同理△BCG≌△ECF，故②错误；

∵△ACF≌△DCG，∴CF=CG．

∵∠FCG=60°，∴△FCG是等边三角形；故③正确；

过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，∴∠AMC=∠DNC=90°．在△ACM与△DNC中，，∴△ACM≌△DCN，∴CM=CN，∴CH平分∠FHG，故④正确．

故答案为：①③④．