如图甲.在平面直角坐标系xOy中.等腰△OAB的顶点在第一象限.底边OB在x轴的正半轴上.且AO=AB=10cm.OB=12cm．动点C从A点出发.沿AO边向O点运动.速度为1cm/s.运动时间为t秒．过点C作CD∥OB交AB于点D．以CD为边.在点A的异侧作正方形CDEF．(1)若正方形CDEF与△OAB重叠部分的面积为S.求S关于t的函数关系式.并写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

1．如图甲，在平面直角坐标系xOy中，等腰△OAB的顶点在第一象限，底边OB在x轴的正半轴上，且AO=AB=10cm，OB=12cm．动点C从A点出发，沿AO边向O点运动（点C不与O点重合），速度为1cm/s，运动时间为t秒．过点C作CD∥OB交AB于点D．以CD为边，在点A的异侧作正方形CDEF．
（1）若正方形CDEF与△OAB重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）连接OF，当t为何值时，△OCF为等腰三角形？
（3）当EF在OB边上时（如图乙），连接正方形CDEF的对角线CE，将∠DCE绕点C顺时针方向旋转（0°＜旋转角＜45°），旋转后，角的两边分别交边DE于点G，交边EF于点H，试判断在这一过程中，△EHG的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

分析（1）首先考虑点F在OB上时所对应的S和t的值，然后分别对点F在△OAB内部、外部进行讨论，就可解决问题．
（2）由于△OCF为等腰三角形时腰并不确定，因此可分三种情况（①FO=FC，②CO=CF，③OC=OF）进行讨论，只需根据线段之间的数量关系建立关于t的方程，就可解决问题；
（3）在x轴上截取FM=DG，连接CM，根据四边形CDEF是正方形，得到CD=CF，∠CDE=∠CFE=∠CFM=∠FCD=90°，证出△CFM≌△CDG，于是得到∠DCG=∠MCF，CM=CG，推出∠MCH=∠MCF+∠FCH=45°=∠HCG，得到△MCH≌△GCH，于是得到MH=GH，于是得到△HEG的周长=GH+HE+GE=MH+HE+GE=FH+FM+HE+EH=FH+HE+EG+DG=EF+DE=2CD，过A作AN⊥OB于N，交CD于P，则ON=$\frac{1}{2}$OB=6，根据勾股定理得到AN=$\sqrt{A{O}^{2}-O{N}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，通过△ACD∽△AOB，列比例式即可求出结果．

解答解：（1）①当点F在OB上时，
过点A作AH⊥OB于H，交CD于G，如图1①．

则有∠AHE=90°．
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠DCF=∠CFE=90°．
∴∠AHE=∠CFE=90°．
∴CF∥GH．
∴∠AGC=∠DCF=90°．
∴AG⊥CD．
∵CD∥OB，CF∥GH，
∴四边形CGHF是平行四边形．
∴CF=GH．
∵AO=AB，AH⊥OB，
∴OH=BH=$\frac{1}{2}$OB=6．
∵∠AHO=90°，OA=10，OH=6，
∴AH=8．
设正方形CDEF的边长为x，
则GH=CF=CD=x，AG=AH-GH=8-x．
∵CD∥OB，∴△ACD∽△AOB．
∵AG⊥CD，AH⊥OB，
∴$\frac{AG}{AH}$=$\frac{CD}{OB}$=$\frac{AC}{AO}$．
∴$\frac{8-x}{8}$=$\frac{x}{12}$=$\frac{t}{10}$．
解得：x=$\frac{24}{5}$，t=4．
∴S=$\frac{576}{25}$．
②当点F在△OAB内部时，0＜t＜4，如图1②．

∵△ACD∽△AOB，
∴$\frac{CD}{OB}$=$\frac{AC}{AO}$．
∴$\frac{CD}{12}$=$\frac{t}{10}$．
∴CD=$\frac{6t}{5}$．
∴S=CD²=$\frac{36{t}^{2}}{25}$．
③当点F在△OAB外部时，4＜t＜10，
过点A作AH⊥OB于H，如图1③．

则有CD=$\frac{6t}{5}$，OC=10-t，AH=8，CM∥AH．
∴△OMC∽△OHA．
∴$\frac{CM}{AH}$=$\frac{OM}{OH}$=$\frac{OC}{OA}$．
∴$\frac{CM}{8}$=$\frac{OM}{6}$=$\frac{10-t}{10}$．
∴CM=8-$\frac{4t}{5}$，OM=6-$\frac{3t}{5}$．
∴S=CD•CM=$\frac{6t}{5}$•（8-$\frac{4t}{5}$）=-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{48}{5}$t．
综上所述：当0＜t≤4时，S=$\frac{36{t}^{2}}{25}$；当4＜t＜10时，S=-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{48}{5}$t．

（2）①若FO=FC，如图2①．

此时点F在△OAB内部，0＜t＜4．
过点A作AH⊥OB于H，延长CF交OB于点T，
由（1）得：CF=CD=$\frac{6t}{5}$，CT=8-$\frac{4t}{5}$，OT=6-$\frac{3t}{5}$．
则FT=CT-CF=8-$\frac{4t}{5}$-$\frac{6t}{5}$=8-2t．
∵∠FTO=90°，∴FT²+OT²=OF²．
∴（8-2t）²+（6-$\frac{3t}{5}$）²=（$\frac{6t}{5}$）²．
整理得：73t²-980t+2500=0．
解得：t₁=$\frac{250}{73}$，t₂=10．
∵0＜t＜4，∴t=$\frac{250}{73}$．
②若CO=CF，如图2②．
此时点F在△OAB外部，4＜t＜10．

∵CF=CD=$\frac{6t}{5}$，OC=10-t，CF=CO，
∴$\frac{6t}{5}$=10-t．
解得：t=$\frac{50}{11}$．
③若OC=OF，如图2③．

此时点F在△OAB外部，4＜t＜10．
则有CM=8-$\frac{4t}{5}$，CF=CD=$\frac{6t}{5}$．
∵OC=OF，OM⊥CF，
∴CM=FM=$\frac{1}{2}$CF．
∴8-$\frac{4t}{5}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{6t}{5}$．
解得：t=$\frac{40}{7}$．
综上所述：当t为$\frac{250}{73}$秒或$\frac{50}{11}$秒或$\frac{40}{7}$秒时，△OCF为等腰三角形；

（3）△EHG的周长不发生变化，
如图3，在x轴上截取FM=DG，连接CM，

∵四边形CDEF是正方形，∴CD=CF，∠CDE=∠CFE=∠CFM=∠FCD=90°，
∴CD=CF，在△CMF与△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CD}\\{∠CFM=∠CDG}\\{FM=DG}\end{array}\right.$，
∴△CFM≌△CDG，
∴∠DCG=∠MCF，CM=CG，
∵∠HCG=45°，
∴∠DCG+∠FCH=45°，
∴∠MCH=∠MCF+∠FCH=45°=∠HCG，
在△MCH与△GCH中，$\left\{\begin{array}{l}{CM=CG}\\{∠MCG=∠GCH}\\{CH=CH}\end{array}\right.$，
∴△MCH≌△GCH，
∴MH=GH，
∴△HEG的周长=GH+HE+GE=MH+HE+GE=FH+FM+HE+EH=FH+HE+EG+DG=EF+DE=2CD，
过A作AN⊥OB于N，交CD于P，则ON=$\frac{1}{2}$OB=6，
∴AN=$\sqrt{A{O}^{2}-O{N}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵CD∥OB，
∴△ACD∽△AOB，
∴$\frac{CD}{OB}=\frac{AP}{AN}$，即$\frac{CD}{12}=\frac{8-CD}{8}$，
∴CD=$\frac{24}{5}$，
∴△EGH的周长=2CD=$\frac{48}{5}$．

点评本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，而考虑临界位置及分类讨论则是解决本题的关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>