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【题目】如图,在中,平分于点上一点,经过点分别交于点,连接于点.

(1)求证:的切线;

(2)设,试用含的代数式表示线段的长;

(3)若,求的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】(1)连接OD,由AD为角平分线得到一对角相等,再由等边对等角得到一对角相等,等量代换得到内错角相等,进而得到ODAC平行,得到ODBC垂直,即可得证;

(2)连接DF,由(1)得到BC为圆O的切线,由弦切角等于夹弧所对的圆周角,进而得到三角形ABD与三角形ADF相似,由相似得比例,即可表示出AD;

(3)连接EF,设圆的半径为r,由sinB的值,利用锐角三角函数定义求出r的值,由直径所对的圆周角为直角,得到EFBC平行,得到sinAEF=sinB,进而求出DG的长即可.

(1)证明:如图,连接OD,

AD为∠BAC的角平分线,

∴∠BAD=CAD,

OA=OD,

∴∠ODA=OAD,

∴∠ODA=CAD,

ODAC,

∵∠C=90°

∴∠ODC=90°

ODBC,

BC为圆O的切线;

(2)连接DF,由(1)知BC为圆O的切线,

∴∠FDC=DAF,

∴∠CDA=CFD,

∴∠AFD=ADB,

∵∠BAD=DAF,

∴△ABD∽△ADF,

,即AD2=ABAF=xy,

AD=

(3)连接EF,在RtBOD中,sinB=

设圆的半径为r,可得

解得:r=5,

AE=10,AB=18,

AE是直径,

∴∠AFE=C=90°

EFBC,

∴∠AEF=B,

sinAEF=

AF=AEsinAEF=10×

AFOD,

,即DG=AD,

AD=

DG=×=

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