【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=4,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C/.
(1)求抛物线C的函数表达式;
(2)若抛物线C/与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围.
(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C/上的对应点P/,设M是C上的动点,N是C/上的动点,试探究四边形PMP/N能否成为正方形?若能,请直接写出m的值;若不能,请说明理由.
【答案】(1);(2)2<m<;(3)m=6或m=﹣3.
【解析】
试题(1)由题意抛物线的顶点C(0,4),A(,0),设抛物线的解析式为,把A(,0)代入可得a=,由此即可解决问题;
(2)由题意抛物线C′的顶点坐标为(2m,﹣4),设抛物线C′的解析式为,由,消去y得到,由题意,抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,则有,解不等式组即可解决问题;
(3)情形1,四边形PMP′N能成为正方形.作PE⊥x轴于E,MH⊥x轴于H.由题意易知P(2,2),当△PFM是等腰直角三角形时,四边形PMP′N是正方形,推出PF=FM,∠PFM=90°,易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,可得M(m+2,m﹣2),理由待定系数法即可解决问题;情形2,如图,四边形PMP′N是正方形,同法可得M(m﹣2,2﹣m),利用待定系数法即可解决问题.
试题解析:(1)由题意抛物线的顶点C(0,4),A(,0),设抛物线的解析式为,把A(,0)代入可得a=,∴抛物线C的函数表达式为.
(2)由题意抛物线C′的顶点坐标为(2m,﹣4),设抛物线C′的解析式为,由,消去y得到 ,由题意,抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,则有,解得2<m<,∴满足条件的m的取值范围为2<m<.
(3)结论:四边形PMP′N能成为正方形.
理由:1情形1,如图,作PE⊥x轴于E,MH⊥x轴于H.
由题意易知P(2,2),当△PFM是等腰直角三角形时,四边形PMP′N是正方形,∴PF=FM,∠PFM=90°,易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2﹣m,∴M(m+2,m﹣2),∵点M在上,∴,解得m=﹣3或﹣﹣3(舍弃),∴m=﹣3时,四边形PMP′N是正方形.
情形2,如图,四边形PMP′N是正方形,同法可得M(m﹣2,2﹣m),把M(m﹣2,2﹣m)代入中,,解得m=6或0(舍弃),∴m=6时,四边形PMP′N是正方形.
综上所述:m=6或m=﹣3时,四边形PMP′N是正方形.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC各顶点的坐标分别是A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1).
(1)在图中画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1;
(2)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2;
(3)在(2)的条件下,求点A运动路径长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1)等边三角形“內似线”的条数为 ;
(2)如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求证:BD是△ABC的“內似线”;
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分别在边AC、BC上,且EF是△ABC的“內似线”,求EF的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两名同学进行射击训练,在相同条件下各射靶5次,成绩统计如下表:
命中环数 | 7 | 8 | 9 | 10 |
甲命中相应环数的次数 | 2 | 2 | 0 | 1 |
乙命中相应环数的次数 | 1 | 3 | 1 | 0 |
(1)求甲、乙两人射击成绩的平均数;
(2)甲、乙两人中,谁的射击成绩更稳定些?请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1.
(1)求证:2a+b=0;
(2)若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4,求方程的另一个根.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. a:b:c=3:4:5 B. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
C. ∠A+∠B=∠C D. a:b:c=1:2:
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某超市计划购进一批甲、乙两种玩具,已知4件甲种玩具的进价与2件乙种玩具的进价的和为230元,2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为185元.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元;
(2)如果购进甲种玩具有优惠,优惠方法是:购进甲种玩具超过20件,超出部分可以享受7折优惠,若购进()件甲种玩具需要花费元,请你直接写出与的函数表达式.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com