Question

【题目】如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作，交于点，交的延长线于点．过点作，交于点，连接，，．

（1）求证：是的切线；

（2）填空：

①当四边形是周长为20的菱形时， ；

②当 时，四边形是正方形．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）①，②．

【解析】

（1）根据平行线的性质得∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，由于∠E=∠EFA，则∠FAB=∠CAB，可证明△ABC≌△ABF，从而得到∠AFB=90°，然后根据切线的判定方法可判断BF是⊙A的切线；

（2）①通过菱形得到△ADF为等边三角形，然后通过特殊角的三角函数值计算即可；②由正方形对角线和边的倍数关系即可得到答案．

（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
∵AE=AF，

∴∠E=∠EFA，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
，
∴△ABC≌△ABF（SAS），
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AF，
∵AF是⊙A的半径，
∴BF是⊙A的切线；

（2）①若四边形是周长为20的菱形，

则AD=DF=5，

∵AD=AF

∴AD=AF=DF=5，即△ADF为等边三角形，

∴∠DAF=60°，

∵∠AFB=90°，

∴，

∴；

②若四边形是正方形，

则AB是正方形的对角线，

由于AE=AC=AF，

∴．