Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若CE＝，AB＝6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）DE与⊙O相切；理由见解析；（2）4.

【解析】

（1）连接OD，由D为的中点，得到，进而得到AD=CD，根据平行线的性质得到∠DOA＝∠ODE＝90°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据四边形对角互补得到∠DAB＝∠DCE，由得到∠DAC＝∠DCA＝45°，求得△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）解：DE与⊙O相切

证：连接OD，在⊙O中

∵D为的中点

∴

∴AD＝DC

∵AD＝DC，点O是AC的中点

∴OD⊥AC

∴∠DOA＝∠DOC＝90°

∵DE∥AC

∴∠DOA＝∠ODE＝90°

∵∠ODE＝90°

∴OD⊥DE

∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D

∴DE与⊙O相切.

（2）解：连接BD

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠DAB＋∠DCB＝180°

又∵∠DCE＋∠DCB＝180°

∴∠DAB＝∠DCE

∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上,

∴∠ADC＝∠ABC＝90°

∵,

∴∠ABD＝∠CBD＝45°

∵AD＝DC，∠ADC＝90°

∴∠DAC＝∠DCA＝45°

∵DE∥AC

∴∠DCA＝∠CDE＝45°

在△ABD和△CDE中

∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°

∴△ABD∽△CDE

∴＝

∴＝

∴AD＝DC＝4, CE＝，AB＝6，

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4，

∴AC＝＝8

∴⊙O的半径为4.