[题目]下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线的尺规作图过程．已知:在△ABC中.∠C＝90°．求作:△ABC的中位线DE.使点D在AB上.点E在AC上．作法:如图.①分别以A.C为圆心.大于AC长为半径画弧.两弧交于P.Q两点,②作直线PQ.与AB交于点D.与AC交于点E．所以线段DE就是所求作的中位线．根据小宇设计的尺规作图过程.(1)使用直尺� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．

已知：在△ABC中，∠C＝90°．

求作：△ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上．

作法：如图，

①分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E．

所以线段DE就是所求作的中位线．

根据小宇设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：连接PA，PC，QA，QC，DC，

∵PA＝PC，QA＝　　，

∴PQ是AC的垂直平分线（　　）（填推理的依据）．

∴E为AC中点，AD＝DC．

∴∠DAC＝∠DCA，

又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°．

∴∠ABC＝∠DCB（　　）（填推理的依据）．

∴DB＝DC．

∴AD＝BD＝DC．

∴D为AB中点．

∴DE是△ABC的中位线．

【答案】（1）详见解析；（2）QC，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，等角的余角相等

【解析】

（1）作线段AC的垂直平分线PQ，交AB于D，交AC于E．

（2）根据写好的证明过程，由垂直平分线定理，直角三角形的性质把缺失的条件或者依据补充完整即可.

解：（1）如图线段DE即为所求．

（2）连接PA，PC，QA，QC，DC，

∵PA＝PC，QA＝QC，

∴PQ是AC的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），

∴E为AC中点，AD＝DC．

∴∠DAC＝∠DCA，

又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°．

∴∠ABC＝∠DCB（等角的余角相等），

∴DB＝DC．

∴AD＝BD＝DC．

∴D为AB中点．

∴DE是△ABC的中位线．

故答案为：QC，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，等角的余角相等．

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