Question

17．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10 米），围成一个长方形的花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式；写出自变量x的取值范围．
（2）怎样围才能使长方形花圃的面积最大？最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）设花圃的宽AB为x米，则长BC=24-2x，从而可知0＜24-2x≤10，从而可求得x的取值范围，然后利用矩形的面积公式可求得S与x的关系式；
（2）先求得抛物线的对称轴方程为x=6，根据二次函数的性质和自变量的取值范围可知当x=7时长方形花圃的面积最大．

解答 解：（1）设花圃的宽AB为x米，则长BC=（24-2x）米．
由矩形的面积公式可知：S=x（24-2x），
∴S=-2x²+24x．
∵墙的最大可用长度a为10米，
∴0＜24-2x≤10．
解得：7≤x＜12．
（2）∵a=-2，b=24，
∴x=-$\frac{b}{2a}$=$-\frac{24}{-2×2}$=6．
∵7≤x＜12，a＜0，
∴S随x的增大而减小．
∵当x=7时24-2x=10，即长为10米，宽为7米时面积最大，
∴长方形花圃的最大面积=70平方米．

点评 本题主要考查的是二次函数的应用，依据二次函数的性质和自变量的取值范围求得当x=7时长方形花圃的面积最大是解题的关键．