Question

18．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB=$\frac{5}{4}$，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线定理可以证得四边形EGFH是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答．
（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．

解答 （1）证明：∵在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG∥AB，EG=$\frac{1}{2}$AB，HF∥AB，HF=$\frac{1}{2}$AB，
∴EG∥HE，EG=HE，
∴四边形EGFH是平行四边形．
又EH=$\frac{1}{2}$CD，AB=CD，
∴EG=EH，
∴平行四边形EGFH是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
∴GF∥DC，HF∥AB．
∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．
∴∠GFH=90°．
∴菱形EGFH是正方形．
∵AB=$\frac{5}{4}$，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{8}$．
∴正方形EGFH的面积=（$\frac{5}{8}$）²=$\frac{25}{64}$．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位线定理是关键．