Question

7．（1）计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{9×11}$；
（2）证明：对任意大于1的正整数n，有$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）观察分析可知：$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）$，$\frac{1}{2×4}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$，$\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$，…，$\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）$计算即可得出结论；
（2）观察分析可知：$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，据此规律可证得结论．

解答 （1）解：原式=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）+\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+\frac{1}{2}×（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）$
=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）$
=$\frac{1}{2}×（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）$
=$\frac{1}{2}×\frac{72}{55}$
=$\frac{36}{55}$；
（2）证明：∵$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
∴$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}$$＜\frac{1}{2}$
∴$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$$＜\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是规律性问题，首先根据所给数据发现规律，再按规律逐步解答可完成．解题的关键是发现规律．